《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

12. 题目:把$x^{2}-120x+3456$分解因式.
分析:由于常数项数值较大,用十字相乘法较难拆分,故常采用将$x^{2}-120x$变形为差的平方的形式进行分解.
解:原式$=x^{2}-2\cdot 60x+60^{2}-60^{2}+3456$
$=(x-60)^{2}-144$
$=(x-60)^{2}-12^{2}$
$=(x-60+12)(x-60-12)$
$=(x-48)(x-72).$
(1)请你按照上面的解题方法把$x^{2}-140x+4875$分解因式;
(2)已知一个长方形的面积为$a^{2}+8ab+12b^{2}$,宽为$a+2b$,求这个长方形的长.
(1)$(x - 65)(x - 75)$ (2)$a + 6b$

答案：
(1) $(x - 65)(x - 75)$
(2) $a + 6b$

13. 【新考法·阅读理解】“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如$ax^{2}+bxy+cy^{2}$的二次三项式来说,关键是把$x^{2}$项的系数$a$分解成两个因数$a_{1},a_{2}$的积,即$a=a_{1}\cdot a_{2}$,把$y^{2}$项的系数$c$分解成两个因数$c_{1},c_{2}$的积,即$c=c_{1}\cdot c_{2}$,并使$a_{1}\cdot c_{2}+a_{2}\cdot c_{1}$正好等于$xy$项的系数$b$,那么可以直接写出$ax^{2}+bxy+cy^{2}=(a_{1}x+c_{1}y)(a_{2}x+c_{2}y).$
例:把$x^{2}-2xy-8y^{2}$分解因式.
解:如图1,其中$1=1×1,-8=(-4)×2$,而$-2=1×(-4)+1×2,$$\therefore x^{2}-2xy-8y^{2}=(x-4y)(x+2y)$.同样地,对于形如$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f$的二元二次式也可以用“十字相乘法”来分解因式.如图2,将$a$分解成$mn,m,n$作为第1列,$c$分解成$pq,p,q$作为第2列,$f$分解成$jk,j,k$作为第3列.如果$mq+np=b,pk+qi=e,mk+nj=d$,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,那么原式$=(mx+py+j)(nx+qy+k).$
例:把$x^{2}+2xy-3y^{2}+3x+y+2$分解因式.
解:如图3,其中$1=1×1,-3=(-1)×3,2=1×2.$
$\because 2=1×3+1×(-1),1=(-1)×2+3×1,3=1×2+1×1,$$\therefore x^{2}+2xy-3y^{2}+3x+y+2=(x-y+1)(x+3y+2).$
(1)分解因式:①$6x^{2}-7xy+2y^{2}=$$(2x - y)(3x - 2y)$;②$3x^{2}+5xy-2y^{2}+x+9y-4=$$(3x - y + 4)(x + 2y - 1)$.
(2)若关于$x,y$的二元二次式$x^{2}+7xy-18y^{2}-5x+my-24$可以分解成两个一次因式的积,求$m$的值.
$m=$43 或 -78

答案：
(1) ① $(2x - y)(3x - 2y)$ ② $(3x - y + 4)(x + 2y - 1)$
(2) 43 或 -78