《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,AC=5,D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点,则DE+EF+FD的最小值为4.8.

答案： 4.8

10.如图,旅游船从大桥AB上的点P处前往山脚下的点Q处接游客,然后将游客送到河岸BC上,最后再回到点P处.请画出旅游船的最短行驶路径.(实际行驶路径画实线,其他辅助线画虚线)

旅游船的最短行驶路径为P→M→Q→N→P（其中M为PQ₁与BC的交点，N为MP₁与AC的交点，Q₁是Q关于BC的对称点，P₁是P关于AC的对称点）

答案： 【解析】：
本题可根据轴对称的性质来确定最短行驶路径。
- **步骤一：作点$Q$关于$BC$的对称点$Q_1$，点$P$关于$AC$的对称点$P_1$。**
根据轴对称的性质，对称轴是对称点连线的垂直平分线，所以$QC = Q_1C$，$PA = P_1A$。
- **步骤二：连接$PQ_1$交$BC$于点$M$，连接$MP_1$交$AC$于点$N$。**
此时$PM + MQ_1=PM + MQ$（因为$MQ = MQ_1$），$PN + NP_1=PN + NA$（因为$PN = NP_1$）。
根据两点之间线段最短，$PQ_1$是$P$到$Q_1$的最短距离，$MP_1$是$M$到$P_1$的最短距离。
- **步骤三：确定最短行驶路径**
旅游船的行驶路径为$P→M→Q→N→P$。
【答案】：旅游船的最短行驶路径为$P→M→Q→N→P$（其中$M$为$PQ_1$与$BC$的交点，$N$为$MP_1$与$AC$的交点，$Q_1$是$Q$关于$BC$的对称点，$P_1$是$P$关于$AC$的对称点）。

11.如图,等边三角形ABC的边长为6,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D为线段BC'上一动点,求AD+CD的最小值.

练思维
12

答案： 12

12.如图1,河的两岸平行,A,B是位于河两岸的两个车间.现要在河上建一座桥,使桥垂直于河岸,并且使A,B间的路径最短.确定桥的位置的方法如下:过点A作河岸的垂线,分别交河岸PQ,MN于点F,G,在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于点D,在点D处作河岸PQ的垂线DC,那么DC就是桥的位置.
(1)分析桥建在CD处时路径最短的理由,也就是AC+CD+DB的值最小的理由.
因为CD⊥PQ，FG⊥PQ，所以CD// FG，又因为AE = FG，CD = FG（桥垂直河岸，两平行线间垂线段相等），所以AE = CD，且AE// CD，四边形AECD是平行四边形，所以AC = ED。那么AC + CD+DB=ED + CD + DB，因为CD长度固定，根据两点之间线段最短，E，D，B三点共线时，ED + DB最小，所以此时AC + CD + DB的值最小。
(2)利用上面的做法,解决下面的问题:如图2,A,B,C三地被两条河隔开,现要建两座与河岸垂直的桥,如何修建可使从A地到B地再到C地的路径最短? 请画出示意图.
过点A作l₁的垂线，交l₁，l₂于M，N，在AN上取AF = MN；过点C作l₄的垂线，交l₃，l₄于P，Q，在CP上取CG = PQ。连接FG交l₂于E，交l₃于H。过E作l₁的垂线ED（D在l₁上），过H作l₄的垂线HB（B在l₄上），则ED，HB就是两座桥的位置。

答案： 【解析】：
(1)
因为$CD\perp PQ$，$FG\perp PQ$，所以$CD// FG$，又因为$AE = FG$，$CD = FG$（桥垂直河岸，两平行线间垂线段相等），所以$AE = CD$，且$AE// CD$，则四边形$AECD$是平行四边形，所以$AC = ED$。
那么$AC + CD+DB=ED + CD + DB$，因为$CD$长度固定（桥的长度），根据两点之间线段最短，$E$，$D$，$B$三点共线时，$ED + DB$最小，所以此时$AC + CD + DB$的值最小。
(2)
过点$A$作$l_{1}$的垂线，交$l_{1}$，$l_{2}$于$M$，$N$，在$AN$上取$AF = MN$；过点$C$作$l_{4}$的垂线，交$l_{3}$，$l_{4}$于$P$，$Q$，在$CP$上取$CG = PQ$。连接$FG$交$l_{2}$于$E$，交$l_{3}$于$H$。过$E$作$l_{1}$的垂线$ED$（$D$在$l_{1}$上），过$H$作$l_{4}$的垂线$HB$（$B$在$l_{4}$上），则$ED$，$HB$就是两座桥的位置。
【答案】：
(1) 理由见上述解析。
(2) 示意图作法见上述解析。