《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

10.(1)若$(-3)^{2}×3^{m}×9×3^{n}=3^{11}$,则$m+n=$7.
(2)若$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=2^{6}$,则$n=$4.

答案：
(1) 7
(2) 4

11.(1)已知$x^{6-b}\cdot x^{2b+1}=x^{11}$,且$y^{a-1}\cdot y^{5-b}=y^{6}$,求$a+b$的值.10
(2)若$2^{x+3}-2^{x+1}=48$,求x的值.3
(3)已知x满足$2^{2x+2}-2^{2x+1}=32$,求x的值.2

答案：
(1) 10
(2) 3
(3) 2

12.记$M_{(1)}=-2,M_{(2)}=(-2)×(-2),M_{(3)}=(-2)×(-2)×(-2),... ,M_{(n)}=(-2)×(-2)×... ×(-2)$(n个-2相乘,其中n为正整数).
(1)求$M_{(5)}+M_{(6)}$的值;32
(2)求$2M_{(2023)}+M_{(2024)}$的值;0
(3)试说明$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数.略

答案：
(1) 32
(2) 0
(3) 略

13.【新考法·阅读理解】阅读材料,回答问题.
材料一:因为$2^{3}=2×2×2,2^{2}=2×2$,所以$2^{3}×2^{2}=(2×2×2)×(2×2)=2^{5}.$
材料二:求$3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$的值.
解:设$S=3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$,①
则$3S=3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}$.②
②-①,得$3S-S=(3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+$
$3^{7})-(3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6})=3^{7}-3,$
所以$2S=3^{7}-3$,即$S=\frac {3^{7}-3}{2},$
所以$3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}=\frac {3^{7}-3}{2}.$
这种方法我们称为“错位相减法”.
(1)填空:$5×5^{8}=$$5^{9}$,$a^{2}\cdot a^{5}=$$a^{7}$.
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事.阿基米德与国王下国际象棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上的第一格放一粒米,第二格放二粒米,第三格放四粒米,第四格放八粒米……按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了.
①国际象棋共有 64 个格子,则在第 64 格中应放$2^{63}$粒米;(用幂表示)
②设国王输给阿基米德的总米粒数为 S,求 S 的值.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}$,①
则$2S=2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}+2^{64}$.②
②-①,得$2S-S=(2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}+2^{64})-(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63})=2^{64}-1$,
所以$S=2^{64}-1$,即国王输给阿基米德的总米粒数为$2^{64}-1$.

答案：
(1) $ 5 ^ { 9 } $ $ a ^ { 7 } $
(2) ① $ 2 ^ { 6 3 } $ ② $ 2 ^ { 6 4 } - 1 $