《2025年一本同步训练八年级数学上册人教版重庆专版》

8.(2025·杨家坪中学月考)如图,在四边形ABCD中,$AB// CD,∠C=90^{\circ }$,E是BC上一点,AE,DE分别平分$∠BAD,∠CDA$.若$AB=12,DC=4$,则AD的长为(B)

A.12
B.16
C.18
D.20

答案： B

9.如图,P为定角$∠AOB$的平分线上的一个定点,且$∠MPN$与$∠AOB$互补.若$∠MPN$在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点.有下列结论:①$PM=PN$;②$OM+ON$的值不变;③MN的长不变;④四边形PMON的面积不变.其中正确的是(B)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： B

10.如图,在四边形ABCD中,$∠A=90^{\circ }$,对角线BD平分$∠ABC$,点E在AB边上,$DE=DC$.若$∠C=α$,则$∠DEB=$180°−α.(用含α的代数式表示)

答案： 180°−α

如图,在$△ABC$中,$∠ABC=90^{\circ }$,AD平分$∠BAC$交BC于点D,$DE=DC$.若$△ADC$的面积为10,$△AED$的面积为6,则$△DBE$的面积为2.

答案： 2

11.在$△ABC$中,点D在边AB的延长线上,$∠BAC$的平分线与$∠CBD$的平分线交于点E,AE与BC交于点H.
(1)如图1,当$∠C=80^{\circ }$时,求$∠E$的度数.40°
(2)如图2,连接CE,延长AC至点G,过点E作$EF⊥AD,EM⊥AG$,垂足分别为F,M.求证:$BC=CM+BF$.略

答案：
(1)40°　
(2)略

12.如图1,在$△ABC$中,$∠ABC=60^{\circ },AC=2AB$,AD平分$∠BAC$交BC于点D,延长DB至点F,使$BF=BD$,连接AF.
(1)求证:$AF=CD$;
(2)如图2,若CE平分$∠ACB$分别交AB,AD于点E,O,求证:$AC=AE+AF$.

答案：
证明:
(1)如图,取AC的中点G,连接DG.

∵AC=2AB,
∴AB=AG=GC.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠GAD.
在△ABD和△AGD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AG,\\ ∠BAD=∠GAD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△AGD(SAS),
∴∠ABD=∠AGD,DB=DG,
∴∠ABF=∠DGC.
∵FB=BD,
∴FB=DG.
在△AFB和△CDG中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CG,\\ ∠ABF=∠CGD,\\ FB=DG,\end{array}\right. $
∴△AFB≌△CDG(SAS),
∴AF=CD.
(2)如图,在AC上取一点M,使得AM=AE.

∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠ACB的平分线,
∴∠BAD=∠DAC,∠ACE=∠ECB.
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC+∠ACB=120°,
∴∠ACE+∠OAC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴∠AOE=60°.
在△AEO和△AMO中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AM,\\ ∠EAO=∠MAO,\\ AO=AO,\end{array}\right. $
∴△AEO≌△AMO(SAS),
∴∠AOE=∠AOM=60°,
∴∠MOC=60°,∠DOC=60°.
在△COD和△COM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DOC=∠MOC,\\ OC=OC,\\ ∠OCD=∠OCM,\end{array}\right. $
∴△COD≌△COM(ASA),
∴CD=CM.
由
(1),知AF=CD,
∴AF=CM,
∴AC=AM+CM=AE+AF.