《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

7. 在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(6,0),B(3,6),C(-3,3),以原点O为位似中心画一个四边形,使它与四边形OABC位似且相似比是2:3,则点B的对应点的坐标为(C)
A. $(\frac{9}{2},9)$或$(-\frac{9}{2},-9)$
B. (2,4)
C. (2,4)或(-2,-4)
D. $(\frac{9}{2},9)$

答案： C

8. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,∠C= 60°,边AB在x轴上,以点O为位似中心,作$△A_1B_1C_1$与△ABC位似.若点C(3,6)的对应点为$C_1(1,2),$则$A_1C_1$的长为4.

答案： 4

9. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B的坐标为(-3,0),点C的坐标为(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△MNC.若点A的对应点M的坐标为(5,-3),点B的对应点N的坐标为(3,0),则点A的坐标为(C)
A. (-5,3)
$B. (-5,\frac{3}{2})$
$C. (-4,\frac{3}{2})$
$D. (-\frac{9}{2},\frac{3}{2})$

答案： C

10. 如图,△ABC与△DOE是位似图形,A(0,3),B(-2,0),C(1,0),E(6,0),△ABC与△DOE的位似中心为点M.
(1)求出点D的坐标.(4,6)
(2)在图中画出点M,并求点M的坐标.(−4,0)

答案： 解:
(1)由题意知,$\triangle ABC \backsim \triangle DOE$,$OA = 3$,$OB = 2$,$BC = 3$,$OE = 6$。$\therefore \frac{AB}{DO} = \frac{BC}{OE} = \frac{1}{2}$。过点$D$作$DH \perp OE$于点$H$,则$\triangle AOB \backsim \triangle DHO$,$\therefore \frac{AB}{DO} = \frac{OB}{OH} = \frac{AO}{DH} = \frac{1}{2}$。$\therefore OH = 2OB = 4$,$DH = 2OA = 6$。$\therefore$ 点$D$的坐标为$(4,6)$。
(2)图略,连接$DA$并延长,交$x$轴于点$M$,则点$M$即为所求,且$\frac{MO}{MH} = \frac{AO}{DH} = \frac{1}{2}$。设$MO = x$,则$MH = x + 4$,$\therefore x:(x + 4) = 1:2$,解得$x = 4$。$\therefore$ 点$M$的坐标为$(−4,0)$。

11. 新考向 新定义问题 如果两个一次函数$y= k_1x+b_1$和$y= k_2x+b_2$满足$k_1= k_2,b_1≠b_2,$那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y= -2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,一次函数y= kx+b与y= -2x+4是“平行一次函数”.
(1)若函数y= kx+b的图象过点(3,1),求b的值.
(2)若函数y= kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似中心为原点,相似比为1:2,求函数y= kx+b的表达式.

答案：
解:
(1)由题意,得$k = -2$,把点$(3,1)$和$k = -2$代入$y = kx + b$,得$1 = -2 \times 3 + b$,$\therefore b = 7$。
(2)如图,$\because$ 相似比为$1:2$,$\therefore$ 函数$y = kx + b$的图象有两种情况:① 不经过第三象限时，过点$(1,0)$和点$(0,2)$,此时表达式为$y = -2x + 2$；② 不经过第一象限时，过点$(-1,0)$和点$(0,-2)$,此时表达式为$y = -2x - 2$。综上所述，函数$y = kx + b$的表达式为$y = -2x + 2$或$y = -2x - 2$。