《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 下列方程,属于一元二次方程的是 (B)
A. $x^{2}-xy = 3$
B. $x^{2}-2x + 2024 = 0$
C. $x^{2}-\frac{4}{x}= 0$
D. $3(x + 3)= x$

答案： B

2. 若关于$x的方程(m - 4)x^{2}+4x + 5 = 0$是一元二次方程,则$m$的取值范围是 (B)
A. $m＜4$
B. $m\neq4$
C. $m = 4$
D. $m＞4$

答案： B

3. 已知关于$x的方程x^{2a - 1}+x = 6$是一元二次方程,则$a$的值为$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

4.(教材P32习题T2变式)填表：
|方程|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|$x^{2}=x + 2$|$x^{2}-x - 2 = 0$|1|$-1$|$-2$|
|$5 = 2x^{2}$|$2x^{2}-5 = 0$|2|0|$-5$|
|$x - 4x^{2}=0$|$-4x^{2}+x = 0$（或$4x^{2}-x = 0$）|$-4$（或$4$）|1|0|
|$x(x + 3)=-2$|$x^{2}+3x + 2 = 0$|1|3|2|

答案： |方程|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|$x^{2}=x + 2$|$x^{2}-x - 2 = 0$|$1$|$-1$|$-2$|
|$5 = 2x^{2}$|$2x^{2}-5 = 0$|$2$|$0$|$-5$|
|$x - 4x^{2}=0$|$-4x^{2}+x = 0$（或$4x^{2}-x = 0$）|$-4$（或$4$）|$1$|$0$|
|$x(x + 3)=-2$|$x^{2}+3x + 2 = 0$|$1$|$3$|$2$|

5.(教材P35习题T1变式)某校准备修建一个面积为$180\ m^{2}$的矩形活动场地,它的长比宽多$11\ m$. 设场地的宽为$x\ m$,则可列方程为$x(x + 11) = 180$.

答案： $x(x + 11) = 180$

6. 两个连续偶数的平方和是100,求这两个数. 若设较小的偶数为$x$,则可列方程为$x^{2} + (x + 2)^{2} = 100$.

答案： $x^{2} + (x + 2)^{2} = 100$

7. 若关于$x的方程(a - 3)x^{|a - 1|}+x - 1 = 0$是一元二次方程,则$a$的值是$-1$.

答案： $-1$

8. 若将关于$x的一元二次方程3x^{2}+x - 2 = ax(x - 2)$化成一般形式后,其二次项系数为1,常数项为 - 2,则它的一次项系数为5.

答案： 5

9. 新考向 数学文化 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺,门的对角线长为1丈(1丈 = 10尺),那么门的高和宽各是多少?”设门的宽为$x$尺,根据题意可列方程为$x^{2} + (x + 6)^{2} = 10^{2}$.

答案： $x^{2} + (x + 6)^{2} = 10^{2}$

10. 已知关于$x的方程(k + 1)x^{k^{2}+1}+(k - 3)x - 1 = 0$.
(1)当$k = $$-1$ 或 0时,它是一元一次方程.
(2)当$k = $1时,它是一元二次方程.

答案：
(1) $-1$ 或 0
(2) 1

11. 根据下列问题设未知数列方程,并将所列方程化成一般形式：
在“双减”政策下,学校开展了丰富多彩的活动,其中包括举办一次摄影展览. 在每张长和宽分别为17 cm和15 cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸,经试验,彩纸面积为相片面积的$\frac{1}{3}$时较美观,求所镶彩纸的宽.

答案： 解: 设所镶彩纸的宽为 $x$ cm. 根据题意, 得 $(17 + 2x)(15 + 2x) - 17×15 = \frac{1}{3}×17×15$. 化为一般形式: $4x^{2} + 64x - 85 = 0$.