《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在矩形 ABCD 中,E 为边 BC 上的一点,$DF⊥AE$于点 F,且$AB= 6,AD= 12,AE= 10$,则 DF 的长为 (C)

A. 5
B. $\frac {11}{3}$
C. $\frac {36}{5}$
D. 8

答案： C

11. 如图,在平面直角坐标系中,C 为$△AOB$的边 OA 上一点,$AC:OC= 1:2$,过点 C 作$CD// OB$交 AB 于点 D. 若 C,D 两点的纵坐标分别为 1,3,则点 B 的纵坐标为 (C)

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： C

12. (2024·河南)如图,在$□ ABCD$中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为 OC 的中点,$EF// AB$交 BC 于点 F. 若$AB= 4$,则 EF 的长为 (B)

A. $\frac {1}{2}$
B. 1
C. $\frac {4}{3}$
D. 2

答案： B

13. (2023·东营改编)如图,$△ABC$为等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AB 上,$∠ADE= 60^{\circ }$.若$BD= 4DC,DE= 2.4$,则 AD 的长为____3.

答案： 3

14. 如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作$AE⊥BC$,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且$∠AFE= ∠B$.
(1)求证:$△ADF\backsim △DEC$.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore AB// CD,AD$ $// BC.\therefore ∠B+∠C=180^{\circ },∠ADF=∠DEC.\because ∠AFD+$ $∠AFE=180^{\circ },∠AFE=∠B,\therefore ∠AFD=∠C.\therefore △ADF\backsim $ $△DEC$.
(2)若$AB= 4,AD= 3\sqrt {3},AF= 2\sqrt {3}$,求 AE 的长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore CD=AB=4.$ 由(1)知，$△ADF\backsim △DEC,\therefore \frac {AD}{DE}=\frac {AF}{CD}.\therefore DE=\frac {AD\cdot CD}{AF}=$ $\frac {3\sqrt {3}×4}{2\sqrt {3}}=6$. 在$Rt△ADE$中，由勾股定理，得$AE=$ $\sqrt {DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt {6^{2}-(3\sqrt {3})^{2}}=$3.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore AB// CD,AD$ $// BC.\therefore ∠B+∠C=180^{\circ },∠ADF=∠DEC.\because ∠AFD+$ $∠AFE=180^{\circ },∠AFE=∠B,\therefore ∠AFD=∠C.\therefore △ADF\backsim $ $△DEC$.
(2)
∵四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore CD=AB=4.$ 由
(1)知，$△ADF\backsim △DEC,\therefore \frac {AD}{DE}=\frac {AF}{CD}.\therefore DE=\frac {AD\cdot CD}{AF}=$ $\frac {3\sqrt {3}×4}{2\sqrt {3}}=6$. 在$Rt△ADE$中，由勾股定理，得$AE=$ $\sqrt {DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt {6^{2}-(3\sqrt {3})^{2}}=3.$

15. 如图,$∠ABC= 45^{\circ }$,P 为$△ABC$内一点,连接 PA,PB,PC. 已知$∠BPA= ∠BPC= 135^{\circ }$.
(1)求证:$△CPB\backsim △BPA$.
(2)若$AC⊥BC$,试求$\frac {AC}{PC}$的值.$\sqrt{5}$

答案： 解：
(1)证明：$\because ∠BPA=135^{\circ },\therefore ∠ABP+∠BAP=180^{\circ }-$ $135^{\circ }=45^{\circ }.\because ∠ABP+∠CBP=∠ABC=45^{\circ },\therefore ∠ABP+$ $∠BAP=∠ABP+∠CBP.\therefore ∠CBP=∠BAP.\because ∠CPB=$ $∠BPA=135^{\circ },\therefore △CPB\backsim △BPA$.
(2)$\because AC⊥BC,∠ABC=$ $45^{\circ },\therefore △ABC$是等腰直角三角形.$\therefore AB=\sqrt {2}BC.\because △CPB\backsim $ $△BPA,\therefore \frac {PC}{PB}=\frac {BP}{AP}=\frac {BC}{AB}=\frac {BC}{\sqrt {2}BC}=\frac {1}{\sqrt {2}}$. 设$PC=a$，则$BP=$ $\sqrt {2}a,AP=2a.\because ∠APC=360^{\circ }-135^{\circ }-135^{\circ }=90^{\circ },\therefore AC=$ $\sqrt {AP^{2}+PC^{2}}=\sqrt {(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt {5}a.\therefore \frac {AC}{PC}=\frac {\sqrt {5}a}{a}=\sqrt {5}.$