《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2,则其对角线BD的长是 (C)
A. $\sqrt{3}$
B. 3
C. $\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{5}$

答案： C

2. (2024·辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,$\angle AEB= $ (C)

A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： C

3. (2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且$BE= CF$. 求证:$AF= DE$.

证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°。∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。在△ABF和△DCE中，{AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,}∴△ABF≌△DCE(SAS)。∴AF=DE。

答案： 证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°。
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。在△ABF和△DCE中，{AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,}
∴△ABF≌△DCE(SAS)。
∴AF=DE。

4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (B)
A. 对边平行且相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相平分
D. 对角线互相垂直

答案： B

5. (2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,$\angle ABD= 60^{\circ},AB= 2$,则AC的长为 (C)

A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： C

6. 如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,$BE// AC$交DC的延长线于点E. 求证:$BD= BE$.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB//CD。又∵BE//AC，∴四边形ABEC是平行四边形。∴AC=BE。∴BD=BE。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB//CD。又
∵BE//AC，
∴四边形ABEC是平行四边形。
∴AC=BE。
∴BD=BE。

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BCA= 90^{\circ}$,D为AB的中点.
(1)若$AB= 16$,则$CD= $8.
(2)若$\angle ACD= 20^{\circ}$,则$\angle B= $70°.

答案：
(1)8
(2)70°

8. (2023·株洲)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸. 如图所示,已知$\angle ACB= 90^{\circ}$,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则$CD= $ (B)

A. 3.5 cm
B. 3 cm
C. 4.5 cm
D. 6 cm

答案： B

9. 如图,已知$AC\perp BC,AD\perp BD$,E为AB的中点. 求证:$\triangle ECD$是等腰三角形.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°。又∵E为AB的中点，∴CE=$\frac{1}{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AB。∴CE=DE。∴△ECD是等腰三角形。

答案： 证明：
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°。又
∵E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AB。
∴CE=DE。
∴△ECD是等腰三角形。