《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$M$ 为边 $AD$ 的中点,$P$ 为 $BC$ 上一点,$PE\perp MC$,$PF\perp MB$。当 $AB$,$BC$ 满足条件$AB=\frac{1}{2}BC$时,四边形 $PEMF$ 为矩形。

答案： $AB=\frac{1}{2}BC$

10. 如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$AE\perp BD$ 于点 $E$,$CG\perp BD$ 于点 $F$,$FG = CF$,连接 $AG$。
(1)求证：四边形 $AEFG$ 是矩形。
(2)若 $\angle ABD = 30^{\circ}$,$AG = 2AE = 6$,求 $BD$ 的长为$6\sqrt{3}+6$。

答案： 解:
(1) 证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB=CD,AB// CD$. $\therefore \angle ABE=\angle CDF$. $\because AE\perp BD,CG\perp BD,\therefore AE// CG$ $\angle AEB=\angle AEF=\angle CFD=90^{\circ}$. $\therefore \triangle ABE\cong \triangle CDF(AAS)$. $\therefore AE=CF$. $\because FG=CF,\therefore AE=GF$. $\because AE// GF,\therefore$ 四边形 $AEFG$ 是平行四边形. 又 $\because \angle AEF=90^{\circ},\therefore$ 平行四边形 $AEFG$ 是矩形.
(2) $\because AG=2AE=6,\therefore AE=3$. 由
(1) 可知, 四边形 $AEFG$ 是矩形, $\therefore EF=AG=6$. $\because \angle ABD=30^{\circ},\therefore AB=2AE=6$. $\therefore BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$. 由
(1) 可知, $\triangle ABE\cong \triangle CDF,\therefore BE=DF=3\sqrt{3}$. $\therefore BD=BE+EF+DF=3\sqrt{3}+6+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}+6$.

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC = 3$,$BC = 4$,$AB = 5$,点 $P$ 在 $AB$ 上(不与点 $A$,$B$ 重合),过点 $P$ 作 $PE\perp AC$,$PF\perp BC$,垂足分别是 $E$,$F$,连接 $EF$。
(1)请判断四边形 $PECF$ 的形状,并说明理由。
(2)随着点 $P$ 在边 $AB$ 上位置的改变,$EF$ 的长度是否存在最小值？若存在,请求出 $EF$ 的最小值；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1) 四边形 $PECF$ 是矩形. 理由: 在 $\triangle ABC$ 中, $AC=3,BC=4,AB=5,\therefore AC^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=5^{2}=AB^{2}$. $\therefore \angle ACB=90^{\circ}$. $\because PE\perp AC,PF\perp BC,\therefore \angle PEC=\angle ECF=\angle CFP=90^{\circ}$. $\therefore$ 四边形 $PECF$ 是矩形.
(2) $EF$ 的长度存在最小值. 理由: 连接 $CP$, 由
(1) 知, 四边形 $PECF$ 是矩形. $\therefore EF=CP$. 过点 $C$ 作 $CD\perp AB$ 于点 $D$. 当 $PC=CD$ 时, $PC$ 最小, 此时 $PC=\frac{AC\cdot BC}{AB}=2.4$. $\therefore EF$ 的最小值为 $2.4$.

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$DE$ 平分 $\angle ADC$,$\angle AOB = 60^{\circ}$,则 $\angle COE= $75$^{\circ}$。

答案： 75

2. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$E$ 是 $AB$ 边上一动点(不与点 $A$,$B$ 重合),且 $\angle EDF= \angle A$,点 $F$ 在边 $BC$ 上。下列结论：① $AE = BF$；② $\angle ADE= \angle BEF$；③ $\triangle DEF$ 是等边三角形；④ $\triangle BEF$ 的周长与点 $E$ 的位置无关。其中正确的结论有(C)

A. ①②③④
B. ①③④
C. ①②③
D. ①②④

答案： C