《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

7. 若一元二次方程$4x^{2}+12x-27= 0$的两根为a,b,且$a＞b$,则$3a+b$的值为(A)
A. 0
B. $-3$
C. $-12$
D. 6

答案： A

8. 已知$P= m^{2}-1,Q= 2m-3$,则P,Q的大小关系为(B)
A. $P\geqslant Q$
B. $P＞Q$
C. $P\lt Q$
D. 不能确定

答案： B

9. 若等腰三角形的两边长分别是方程$3x^{2}-8x+4= 0$的两个根,则此三角形的周长为$\frac{14}{3}$．

答案： $\frac{14}{3}$

10. 解方程：$3-x= 2x(x-1)$．

答案： 解：$2x^{2} - x - 3 = 0$，$x^{2} - \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}$，$(x - \frac{1}{4})^{2} = \frac{25}{16}$，$\therefore x - \frac{1}{4} = \pm\frac{5}{4}$。$\therefore x_{1} = \frac{3}{2}$，$x_{2} = -1$。

11. 如图,某小区有一块长为18m,宽为6m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们面积之和为$60m^{2}$,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度．

解：设人行通道的宽度为$x$m，则两块矩形绿地可合成长为$(18 - 3x)$m，宽为$(6 - 2x)$m的矩形。根据题意，得$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 8$。$\because 8 ＞ 6$，$\therefore x_{2} = 8$应舍去。$\therefore x = $1。答：人行通道的宽度为1m。

答案： 解：设人行通道的宽度为$x$m，则两块矩形绿地可合成长为$(18 - 3x)$m，宽为$(6 - 2x)$m的矩形。根据题意，得$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 8$。$\because 8 ＞ 6$，$\therefore x_{2} = 8$应舍去。$\therefore x = 1$。答：人行通道的宽度为1m。

12. 已知实数x满足$4x^{2}+\frac {4}{x^{2}}-16x-\frac {16}{x}+24= 0$,则$x+\frac {1}{x}$的值为2．

答案： 2

【例】填空：
(1)$x^{2}+4x+8= (x+$2$)^{2}+$4．∵不论x取何值,$(x+$2$)^{2}$总是非负数,即$(x+$2$)^{2}\geqslant 0$,$\therefore (x+$2$)^{2}+$4$\geqslant$4．$\therefore当x= $-2时,$x^{2}+4x+8$有最小值为4．$\therefore$原式子的值必为正数．(填“正”或“负”)
(2)$-x^{2}+2x+4= -(x-$1$)^{2}+$5．∵不论x取何值,$-(x-$1$)^{2}$总是非正数,即$-(x-$1$)^{2}\leqslant 0$,$\therefore -(x-$1$)^{2}+$5$\leqslant$5．$\therefore当x= $1时,$-x^{2}+2x+4$有最大值为5．

答案：
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正
(2)1 5 1 1 1 5 5 1 5

1. 不论a为何实数,多项式$a^{2}+3a+5$的值一定是(A)
A. 正数
B. 负数
C. 0
D. 不能确定

答案： A

2. 对于代数式$-3x^{2}-6x+1$,当$x= $-1时,代数式有最大(填“大”或“小”)值,其值为4．

答案： -1 大 4

3. 设a,b为实数,求代数式$a^{2}+b^{2}-4a-2b+6$的最小值．

答案： 解：$a^{2} + b^{2} - 4a - 2b + 6 = a^{2} - 4a + 4 + b^{2} - 2b + 1 + 1 = (a - 2)^{2} + (b - 1)^{2} + 1$。$\because (a - 2)^{2} \geq 0$，$(b - 1)^{2} \geq 0$，$\therefore (a - 2)^{2} + (b - 1)^{2} + 1 \geq 1$。$\therefore$代数式$a^{2} + b^{2} - 4a - 2b + 6$的最小值为1。