《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

9. 如果一元二次方程$x^{2}+(m+1)x+m= 0$的两个根互为相反数,那么(B)
A. $m= 0$
B. $m= -1$
C. $m= 1$
D. 以上结论都不对

答案： B

10. (2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= 2$,则实数$m=$3.

答案： 3

11. 若一元二次方程$x^{2}-7x+5= 0$的两个实数根分别是a,b,则一次函数$y= abx+a+b$的图象一定不经过(D)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D

12. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是(B)
A. $x^{2}+6x+5= 0$
B. $x^{2}-7x+10= 0$
C. $x^{2}-5x+2= 0$
D. $x^{2}-6x-10= 0$

答案： B

13. (2023·乐山)若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m= 0两根为x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则m的值为(C)
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： C

14. 【整体思想】(2024·德州)已知a和b是方程$x^{2}+2024x-4= 0$的两个解,则$a^{2}+2023a-b$的值为2028.

答案： 2028

15. (2023·襄阳)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.$k＞2$
(2)若方程的两个根为$\alpha ,\beta $,且$k^{2}= \alpha \beta +3k$,求k的值.3

答案： 解:
(1)$\because$ 方程有两个不相等的实数根,$\therefore b^{2}-4ac＞0$, 即$2^{2}-4×1×(3-k)=-8+4k＞0$, 解得$k＞2$.
(2)$\because$ 方程的两个根为$\alpha,\beta,\therefore \alpha\beta=\frac {c}{a}=3-k.\therefore k^{2}=3-k+3k$, 解得$k_{1}=3,k_{2}=-1$.$\because k＞2,\therefore k$的值为 3.

16. (2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1= 0$.
(1)求证：无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求m的值.-2 或 1

答案： 解:
(1) 证明: $\because a=1,b=-(m+2),c=m-1,\therefore Δ=b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$.$\because m^{2}≥0,\therefore Δ＞0$.$\therefore$ 无论$m$取何值, 方程都有两个不相等的实数根.
(2) 由题意, 得$x_{1}+x_{2}=m+2,x_{1}x_{2}=m-1$.$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$, 即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9,\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理, 得$m^{2}+m-2=0$.$\therefore (m+2)(m-1)=0$, 解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.$\therefore m$的值为 -2 或 1.

17. 已知实数a,b分别满足$a^{2}-6a+4= 0,b^{2}-6b+4= 0$,则$\frac {b}{a}+\frac {a}{b}$的值为2或7.

答案： $2$或$7$