《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

9. 观察下列每组三角形,不能判定相似的是(D)

答案： D

10. 新考向 真实情境 在如图所示的象棋棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”落在位置B处时,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )

A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

答案： B

11. (本课时T5变式)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两边长分别为$2.5$，$3$ 或 $\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$ 或 $1.6$，$2.4$.

答案： $2.5$，$3$ 或 $\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$ 或 $1.6$，$2.4$

12. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$△ABC和△DEF$的顶点都在格点上,$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}是△DEF$边上的5个格点,请按要求解答下列各题：
(1)求证：$△ABC$是直角三角形.
证明：根据勾股定理，得 $AB = 2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC = 5$，则 $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$. ∴ △ABC 是直角三角形.
(2)判断$△ABC和△DEF$是否相似,并说明理由.
△ABC∽△DEF. 理由：根据勾股定理，得 $AB = 2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC = 5$，$DE = 4\sqrt{2}$，$DF = 2\sqrt{2}$，$EF = 2\sqrt{10}$. ∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$. ∴ △ABC∽△DEF.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}$中的3个格点,并且与$△ABC$相似.
略.

答案： 解：
(1) 证明：根据勾股定理，得 $AB = 2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC = 5$，则 $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$.
∴ △ABC 是直角三角形.
(2) △ABC∽△DEF. 理由：根据勾股定理，得 $AB = 2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC = 5$，$DE = 4\sqrt{2}$，$DF = 2\sqrt{2}$，$EF = 2\sqrt{10}$.
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.
∴ △ABC∽△DEF.
(3) 略.

13. 【类比思想】学习“相似三角形的判定”后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“满足一边和一锐角对应相等或两直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地,可以得到：“满足一个锐角对应相等或两直角边对应成比例的两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地,可以得到：“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”.
请结合所给图形,写出已知,并完成说明过程.
已知：如图,在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\angle C=\angle C' = 90^{\circ}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.
试说明：$Rt△ABC\backsim Rt△A'B'C'.$

设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k\gt0)$，则$AB = kA'B'$，$AC = kA'C'$.在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\frac{\sqrt{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$，∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$.∴$Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'$

答案： 解：
(1) 一个锐角对应相等 两直角边对应成比例
(2) 斜边和一条直角边对应成比例 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle A'B'C'$ 中，$\angle C=\angle C' = 90^{\circ}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，设 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k\gt0)$，则 $AB = kA'B'$，$AC = kA'C'$. 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle A'B'C'$ 中，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\frac{\sqrt{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$.
∴ $Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'$.