《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. (2024·河南)如图,在$Rt△ABC$中,$CD是斜边AB$上的中线,$BE// DC交AC的延长线于点E$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作$∠ECM$,使$∠ECM= ∠A$,且射线$CM交BE于点F$(保留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形$CDBF$是菱形.

(1) 图略. (2) 证明: 由 (1) 得, $∠ECF = ∠A$, $\therefore CF // AB$. $\because BE // DC$, $\therefore$ 四边形 $CDBF$ 是平行四边形. $\because CD$ 是 $Rt△ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线, $\therefore CD = BD$. $\therefore □CDBF$ 是菱形.

答案： 解:
(1) 图略.
(2) 证明: 由
(1) 得, $∠ECF = ∠A$, $\therefore CF // AB$. $\because BE // DC$, $\therefore$ 四边形 $CDBF$ 是平行四边形. $\because CD$ 是 $Rt△ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线, $\therefore CD = BD$. $\therefore □CDBF$ 是菱形.

2. 如图,已知$BD是矩形ABCD$的对角线.
(1)尺规作图:作线段$BD$的垂直平分线,分别交$AD$,$BC于点E$,$F$(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)连接$BE$,$DF$,若$∠ABE= 32^{\circ }$,求$∠EFB$的度数.


(1) 图略. (2) 61°

答案： 解:
(1) 图略.
(2) $\because EF$ 垂直平分线段 $BD$, $\therefore EB = ED$. $\therefore ∠BEF = ∠DEF$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠A = 90^{\circ}$, $AD // BC$. $\therefore ∠AEB = 90^{\circ} - ∠ABE = 58^{\circ}$, $∠EFB = ∠DEF$. $\therefore ∠BEF = ∠DEF = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠AEB) = 61^{\circ}$. $\therefore ∠EFB = ∠DEF = 61^{\circ}$.

3. 如图,$AC是菱形ABCD$的一条对角线,点$B在射线AE$上.
(1)请用尺规把这个菱形补充完整.(保留作图痕迹,不要求写作法)图略
(2)若$AC= 6\sqrt {3},∠CAB= 30^{\circ }$,求菱形$ABCD$的面积.$18\sqrt{3}$

答案： 解:
(1) 图略.
(2) 设 $BD$, $AC$ 相交于点 $O$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore AC \perp BD$, $AO = CO = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{3}$. $\because ∠CAB = 30^{\circ}$, $\therefore AB = 2BO$. $\therefore AO = \sqrt{AB^{2} - BO^{2}} = \sqrt{3}BO = 3\sqrt{3}$. $\therefore BO = 3$. $\therefore BD = 2BO = 6$. $\therefore S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × 6 = 18\sqrt{3}$.

4. 如图,已知▱ ABCD.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边$AD上找一点E$,使$EC平分∠BED$,并加以说明.
(2)在(1)的条件下,若$BC= \sqrt {5},AB= 1$,添加条件$AE= $2时,$□ ABCD$为矩形,并说明理由.
解: (1) 图略. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD // BC$. $\therefore ∠DEC = ∠BCE$. $\because BE = BC$, $\therefore ∠BEC = ∠BCE$. $\therefore ∠DEC = ∠BEC$. (2) 理由: 由 (1) 知, $BE = BC$, $\because BC = \sqrt{5}$, $\therefore BE = \sqrt{5}$. $\because AB = 1$, $AE = 2$, $\therefore AB^{2} + AE^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$, $BE^{2} = 5$. $\therefore AB^{2} + AE^{2} = BE^{2}$. $\therefore ∠A = 90^{\circ}$. $\therefore □ABCD$ 为矩形.

答案： 解:
(1) 图略. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD // BC$. $\therefore ∠DEC = ∠BCE$. $\because BE = BC$, $\therefore ∠BEC = ∠BCE$. $\therefore ∠DEC = ∠BEC$.
(2) 2 理由: 由
(1) 知, $BE = BC$, $\because BC = \sqrt{5}$, $\therefore BE = \sqrt{5}$. $\because AB = 1$, $AE = 2$, $\therefore AB^{2} + AE^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$, $BE^{2} = 5$. $\therefore AB^{2} + AE^{2} = BE^{2}$. $\therefore ∠A = 90^{\circ}$. $\therefore □ABCD$ 为矩形.

5. 如图,四边形$ABCD$是菱形,$E为BC$上任意一点,请仅用无刻度的直尺,在边$DC上找点M$,使$DM= BE$.(不要求写作法)

连接菱形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$，连接$AE$交$BD$于点$F$，连接$CF$并延长交$DC$于点$M$，点$M$即为所求。

答案：