《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG. 若$AF= 3,DG= 4,FG= 5$,则矩形ABCD的面积为48.

答案： 48

11. 如图,在矩形ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径画弧交AD于点E,交AC于点F,连接EF,以点F为圆心,EF的长为半径画弧,与弧BE交于点G,射线AG交BC于点H. 若$AD= 8,BH= 3$,则AB的长为4.

答案： 4

12. (2023·哈尔滨)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD的边上,连接OF. 若$\angle ADB= 38^{\circ},\angle BOF= 30^{\circ}$,则$\angle AOF= $46°或106°.

答案： 46°或106°

13. 如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.
(1)实践与操作:作线段AC的垂直平分线,垂足为O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,标明字母).
(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.
(3)连接AF,若$AB= 6,BC= 8$,则BF的长

为$\frac{7}{4}$.

答案： 1. （1）尺规作图步骤：
以$A$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧；
以$C$为圆心，同样长为半径画弧，两弧分别相交于两点；
过这两点作直线，与$AC$交于$O$，与$AD$交于$E$，与$BC$交于$F$。（作图痕迹略）
2. （2）
猜想：$AE = CF$。
证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$\angle EAO=\angle FCO$。
因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$AO = CO$，$\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAO=\angle FCO\\AO = CO\\\angle AOE=\angle COF\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
所以$AE = CF$。
3. （3）
设$BF=x$，则$CF = 8 - x$，因为$AE = CF$，所以$AE = 8 - x$，$DE=AD - AE=8-(8 - x)=x$。
在$Rt\triangle ABF$中，$AF^{2}=AB^{2}+BF^{2}=6^{2}+x^{2}$；在$Rt\triangle CDE$中，$CE^{2}=CD^{2}+DE^{2}=6^{2}+x^{2}$（因为$AB = CD = 6$），又因为$EF$垂直平分$AC$，所以$AF = CF$。
则$CF^{2}=AB^{2}+BF^{2}$，即$(8 - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
展开得$64-16x+x^{2}=36 + x^{2}$。
移项得$64-36=16x$。
即$16x = 28$，解得$x=\frac{7}{4}$。
故$BF$的长为$\frac{7}{4}$。

14. 新考向 阅读理解 请阅读下列材料,并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一. 如图1,任意锐角$\angle ABC$可看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角,以B为端点的射线BF交CA于点E,交DA的延长线于点F. 若$EF= 2AB$,则射线BF是$\angle ABC$的一条三等分线.
证明:如图2,取EF的中点G,连接AG……
任务:
(1)完成材料中的证明过程.
(2)如图3,在矩形ABCD中,对角线AC的延长线与外角$\angle CBE$的平分线相交于点F. 若$BF= \frac{1}{2}AC$,则$\angle F$的度数为____.



(1)证明：∵四边形BCAD是矩形，∴AD//BC，∠DAC=90°。∴∠F=∠CBF，∠EAF=90°。∵G是EF的中点，∴AG=$\frac{1}{2}$EF=FG。∴∠F=∠GAF。∵EF=2AB，∴AG=AB。∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF。∴∠ABC=3∠CBF。∴射线BF是∠ABC的一条三等分线。30°

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形BCAD是矩形，
∴AD//BC，∠DAC=90°。
∴∠F=∠CBF，∠EAF=90°。
∵G是EF的中点，
∴AG=$\frac{1}{2}$EF=FG。
∴∠F=∠GAF。
∵EF=2AB，
∴AG=AB。
∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF。
∴∠ABC=3∠CBF。
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线。
(2)30°