《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

9. (2024·通辽)如图,▱ ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以下条件不能证明$□ ABCD$是菱形的是(D)

A.$∠BAC= ∠BCA$
B.$∠ABD= ∠CBD$
C.$OA^{2}+OB^{2}= AD^{2}$
D.$AD^{2}+OA^{2}= OD^{2}$

答案： D

10. 如图,在$△ABO$中,$AO= BO$,C是AB的中点. 若将$△ABO$绕点C逆时针旋转$180^{\circ }$,则旋转前后两个三角形组成的图形是菱形,依据是四边相等的四边形是菱形.

答案： 菱形 四边相等的四边形是菱形

11. 如图,线段AB,CD端点的坐标分别为$A(-1,2)$,$B(3,-1)$,$C(3,2)$,$D(-1,5)$,且$AB// CD$,将CD平移至第一象限内,得到$C'D'(C',D'$均在格点上). 要使四边形$ABC'D'$是菱形,则所有满足条件的点$D'$的坐标为(3,5)或(2,6).

答案： (3,5)或(2,6)

12. 如图1,▱ ABCD的对角线AC,BD相交于点E,过点E作两条互相垂直的线段,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N.
(1)求证：$△PBE\cong △QDE$.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB=ED，AB//CD.∴∠EBP=∠EDQ.在△PBE和△QDE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EBP=∠EDQ,\\ EB=ED,\\ ∠BEP=∠DEQ,\end{array}\right.$ ∴△PBE≌△QDEASA.
(2)如图2,顺次连接点P,M,Q,N,求证：四边形PMQN是菱形.
证明：∵△PBE≌△QDE，∴EP=EQ.同理可证，△BME≌△DNE.∴EM=EN.∴四边形PMQN是平行四边形.∵PQ⊥MN，∴平行四边形PMQN是菱形.

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED，AB//CD.
∴∠EBP=∠EDQ.在△PBE和△QDE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EBP=∠EDQ,\\ EB=ED,\\ ∠BEP=∠DEQ,\end{array}\right.$
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)
∵△PBE≌△QDE，
∴EP=EQ.同理可证，△BME≌△DNE.
∴EM=EN.
∴四边形PMQN是平行四边形.
∵PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形.

13. 某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含$60^{\circ }$角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示的位置放置,现将$Rt△AEF$绕点A按逆时针方向旋转角$α(0^{\circ }＜α＜90^{\circ })$,如图2,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证：$BM= FN$.
证明：由题意，得AB=AF，∠BAM=∠FAN.在△ABM和△AFN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BAM=∠FAN,\\ AB=AF,\\ ∠B=∠F,\end{array}\right.$ ∴△ABM≌△AFN(ASA).∴BM=FN.
(2)当旋转角$α=30^{\circ }$时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.
当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由：∵α=30°，∠EAF=90°，∴∠FAB=120°.∵∠B=60°，∴∠B+∠FAB=180°.∴AF//BP.∴∠FPC=∠F=60°.∴∠FPC=∠B=60°.∴AB//FP.∴四边形ABPF是平行四边形.又∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形.

答案： 解：
(1)证明：由题意，得AB=AF，∠BAM=∠FAN.在△ABM和△AFN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BAM=∠FAN,\\ AB=AF,\\ ∠B=∠F,\end{array}\right.$
∴△ABM≌△AFN(ASA).
∴BM=FN.
(2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由：
∵α=30°，∠EAF=90°，
∴∠FAB=120°.
∵∠B=60°，
∴∠B+∠FAB=180°.
∴AF//BP.
∴∠FPC=∠F=60°.
∴∠FPC=∠B=60°.
∴AB//FP.
∴四边形ABPF是平行四边形.又
∵AB=AF，
∴平行四边形ABPF是菱形.