《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 已知在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A= \angle B= \angle C = 90^{\circ}$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$。下列结论一定成立的是(B)
A. $AC\perp BD$
B. $AC = BD$
C. $AB = BC$
D. $AB = AC$

答案： B

2. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$。若 $\triangle AOB$ 的面积是 $3$,则矩形 $ABCD$ 的面积是(C)

A. $6$
B. $9$
C. $12$
D. $15$

答案： C

3. 如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 $AC$,$BD$ 就可以判断,其推理依据是(D)

A. 矩形的对角线相等
B. 矩形的四个角是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形

答案： D

4. 新考向 真实情境 图1是某种型号拉杆箱的实物图,图2是它的几何示意图,行李箱的侧面可看成一个矩形,点 $F$,$C$,$D$ 在同一直线上,$\angle D = 35^{\circ}$,为了拉箱时的舒适度,现将 $\angle ABD$ 调整为 $75^{\circ}$,$\angle D$ 保持不变,则图中 $\angle ECF$ 应为$50^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$

5. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$,$AC = 2AB$,则 $\angle AOD$ 的度数等于$120^{\circ}$。

答案： $120^{\circ}$

6. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$\angle ACB= \angle DBC$。
(1)求证：平行四边形 $ABCD$ 是矩形。
(2)若 $AB = 2$,$\angle ACB = 30^{\circ}$,求 $BC$ 的长。
(1)证明: $\because \angle ACB=\angle DBC,\therefore BO=CO$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AC=2OC,BD=2OB$. $\therefore AC=BD$. $\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是矩形.
(2) $\because$ 在矩形 $ABCD$ 中, $\angle ABC=90^{\circ},\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形. $\because \angle ACB=30^{\circ},\therefore AC=2AB=2× 2=4$. $\therefore BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=$$2\sqrt{3}$.

答案： 解:
(1) 证明: $\because \angle ACB=\angle DBC,\therefore BO=CO$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AC=2OC,BD=2OB$. $\therefore AC=BD$. $\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是矩形.
(2) $\because$ 在矩形 $ABCD$ 中, $\angle ABC=90^{\circ},\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形. $\because \angle ACB=30^{\circ},\therefore AC=2AB=2\times 2=4$. $\therefore BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$.

7. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$BE// AC$,$AE// BD$,$OE$ 与 $AB$ 交于点 $F$。
(1)求证：四边形 $AEBO$ 为矩形。
(2)若 $OE = 10$,$AC = 16$,求菱形 $ABCD$ 的面积。
解: (1) 证明: $\because BE// AC,AE// BD,\therefore$ 四边形 $AEBO$ 是平行四边形. 又 $\because$ 菱形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O,\therefore AC\perp BD$. $\therefore \angle AOB=90^{\circ}$. $\therefore$ 平行四边形 $AEBO$ 为矩形. (2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $AC=16,\therefore OA=\frac{1}{2}AC=8,OB=OD,AC\perp BD$. $\because$ 四边形 $AEBO$ 是矩形, $\therefore AB=OE=10$. $\therefore OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$. $\therefore BD=2OB=12$. $\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}× 16× 12=$96.

答案： 解:
(1) 证明: $\because BE// AC,AE// BD,\therefore$ 四边形 $AEBO$ 是平行四边形. 又 $\because$ 菱形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O,\therefore AC\perp BD$. $\therefore \angle AOB=90^{\circ}$. $\therefore$ 平行四边形 $AEBO$ 为矩形.
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $AC=16,\therefore OA=\frac{1}{2}AC=8,OB=OD,AC\perp BD$. $\because$ 四边形 $AEBO$ 是矩形, $\therefore AB=OE=10$. $\therefore OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$. $\therefore BD=2OB=12$. $\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times 16\times 12=96$.

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 5$,$AD = 3$,$E$ 为 $BC$ 上一点,把 $\triangle CDE$ 沿 $DE$ 翻折,点 $C$ 恰好落在边 $AB$ 上的点 $F$ 处,则 $CE$ 的长是(D)

A. $1$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： D