《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在△ABC中,D是AC上一点,下列条件中不能得出△ABD∽△ACB的是(A)

A. $\frac {AD}{AB}= \frac {BD}{BC}$
B. ∠ABD= ∠ACB
C. $AB^{2}= AD\cdot AC$
D. ∠ADB= ∠ABC

答案： A

10. 如图,在△ABC中,∠A= 78°,AB= 4,AC= 6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)

答案： C

11. 如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC= $\sqrt {3}AB= 3BD$,则AD：AC的值为____$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

12. 如图,△ABC,△GCD,△FDE是三个全等的等腰三角形,点B,C,D,E在一条直线上,且AB= $\sqrt {3}$,BC= 1,BF交AC于点P.
(1)求证：△BFE∽△FDE.
(2)求CP的长.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 解：
(1) 证明：由题意可知，$ BC = CD = DE = 1 $，$ EF = AB = \sqrt{3} $，$ ∴BE = 3 $。$ ∴\frac{BE}{FE} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $，$ \frac{FE}{DE} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $。$ ∴\frac{BE}{FE} = \frac{FE}{DE} $。又 $ ∵∠E = ∠E $，$ ∴△BFE\backsim△FDE $。
(2) $ ∵∠ACB = ∠E $，$ ∠PBC = ∠FBE $，$ ∴△BPC\backsim△BFE $。$ ∴\frac{BC}{BE} = \frac{CP}{EF} $，即 $ \frac{1}{3} = \frac{CP}{\sqrt{3}} $，解得 $ CP = \frac{\sqrt{3}}{3} $。

13. 如图所示,在矩形ABCD中,AB= 12cm,BC= 6cm.点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度运动,点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度运动.如果P,Q同时出发,用t(s)表示运动的时间(0≤t≤6),请回答下列问题：
(1)当t为何值时,△APQ的面积等于5$cm^{2}$?
(2)当t为何值时,△APQ与△ABC相似?
(1) 当 $ t $ 为1或5时，△APQ的面积等于5$cm^{2}$。
(2) 当 $ t $ 为3或1.2时，△APQ与△ABC相似。

答案： 解：
(1) 当运动时间为 $ t $ s 时，$ AP = 2t $ cm，$ AQ = (6 - t) $ cm。依题意，得 $ \frac{1}{2}×2t(6 - t) = 5 $，整理，得 $ t^{2} - 6t + 5 = 0 $，解得 $ t_{1} = 1 $，$ t_{2} = 5 $。$ ∴ $当 $ t = 1 $ 或 $ 5 $ 时，$ △APQ $ 的面积等于 $ 5 $ $ cm^{2} $。
(2) $ ∵∠A = ∠A $，$ ∴ $ 分两种情况讨论：① 当 $ \frac{AQ}{BC} = \frac{AP}{AB} $ 时，$ △AQP\backsim△BCA $，$ ∴\frac{6 - t}{6} = \frac{2t}{12} $，解得 $ t = 3 $；② 当 $ \frac{AQ}{AB} = \frac{AP}{BC} $ 时，$ △AQP\backsim△BAC $，$ ∴\frac{6 - t}{12} = \frac{2t}{6} $，解得 $ t = 1.2 $。$ ∴ $ 当 $ t = 3 $ 或 $ 1.2 $ 时，$ △APQ $ 与 $ △ABC $ 相似。