《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

14. (2024·内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1= 0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}x_{2}=$1.
(2)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}}$的值.
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1$,求p的值.
(2)由(1)，得$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$，∴$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{p}{1} = p$。∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$（$p$为常数）有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$，∴$x_1^2 - px_1 + 1 = 0$。∴$x_1 - p + \frac{1}{x_1} = 0$，即$x_1 + \frac{1}{x_1} = p$。
(3)由(1)，得$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$，∵$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，∴$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2p + 1$。∴$p^2 - 2 = 2p + 1$，解得$p_1 = 3$，$p_2 = -1$。当$p = 3$时，$\Delta = p^2 - 4 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$；当$p = -1$时，$\Delta = p^2 - 4 = -3 ＜ 0$（不合题意，舍去）。∴$p = 3$。

答案： 解:
(1) $ p $ 1
(2) 由
(1)，得 $ x_1 + x_2 = p $，$ x_1x_2 = 1 $，
∴ $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{p}{1} = p $。
∵ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - px + 1 = 0 $（$ p $ 为常数）有两个不相等的实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，
∴ $ x_1^2 - px_1 + 1 = 0 $。
∴ $ x_1 - p + \frac{1}{x_1} = 0 $，即 $ x_1 + \frac{1}{x_1} = p $。
(3) 由
(1)，得 $ x_1 + x_2 = p $，$ x_1x_2 = 1 $，
∵ $ x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1 $，
∴ $ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2p + 1 $。
∴ $ p^2 - 2 = 2p + 1 $，解得 $ p_1 = 3 $，$ p_2 = -1 $。当 $ p = 3 $ 时，$ \Delta = p^2 - 4 = 9 - 4 = 5 ＞ 0 $；当 $ p = -1 $ 时，$ \Delta = p^2 - 4 = -3 ＜ 0 $（不合题意，舍去）。
∴ $ p = 3 $。

15. 新考向 数学文化 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题:“今有圆田一段,中间有个方池,丈量田地待耕犁,恰好三分在记,池面至周有数,每边三步无疑,内方圆径若能知,堪作算中第一.”其大意为:有一块圆形的田,中间有一块正方形水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步,从水池边到圆周,每边相距3步远.若设正方形的边长是x步,则列出的方程是 (B)

A. $π(x+3)^{2}-x^{2}= 72$
B. $π(\frac {x}{2}+3)^{2}-x^{2}= 72$
C. $π(x+3)^{2}-x^{2}= 36$
D. $π(\frac {x}{2}+3)^{2}-x^{2}= 36$

答案： B

16. (2024·重庆)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是10%.

答案： 10%

17. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示:

(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).y=-x+100
(2)该商品日销售额能否达到2600元? 如果能,求出每件售价;如果不能,说明理由.不能，理由：设日销售额为w元，w=x(-x+100)=-x²+100x，令w=2600，得-x²+100x=2600，即x²-100x+2600=0，Δ=(-100)²-4×1×2600=10000-10400=-400＜0，方程无实数根，所以不能达到2600元

答案： 解:
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b $，将 $ (45, 55) $，$ (55, 45) $ 代入，得 $ \begin{cases} 45k + b = 55 \\ 55k + b = 45 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -1 \\ b = 100 \end{cases} $。
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = -x + 100 $。
(2) 日销售额 $ w = x(-x + 100) = -x^2 + 100x $，又
∵ 日销售额是 2 600 元，
∴ $ 2 600 = -x^2 + 100x $。
∴ $ x^2 - 100x + 2 600 = 0 $。
∴ $ \Delta = (-100)^2 - 4 \times 2 600 = 10 000 - 10 400 = -400 ＜ 0 $。
∴ 方程没有实数根，故该商品日销售额不能达到 2 600 元。

18. 定义:$[x]$表示不超过实数x的最大整数,例如:$[1.4]= 1,[-1.2]= -2,[-3]= -3$,则方程$2[x]= x^{2}$的解为$x = 0$或$x = 2$或$x = \sqrt{2}$。

答案： 解:
∵ $ x^2 \geq 0 $，$ 2[x] = x^2 $，
∴ $ x \geq 0 $。① 当 $ 0 \leq x ＜ 1 $ 时，$ x^2 = 0 $，解得 $ x = 0 $；② 当 $ 1 \leq x ＜ 2 $ 时，$ x^2 = 2 $，解得 $ x = \sqrt{2} $ 或 $ x = -\sqrt{2} $（舍去）；③ 当 $ 2 \leq x ＜ 3 $ 时，$ x^2 = 4 $，解得 $ x = 2 $ 或 $ x = -2 $（舍去）；④ 当 $ x \geq 3 $ 时，方程无解。综上所述，方程 $ 2[x] = x^2 $ 的解为 $ x = 0 $ 或 $ x = 2 $ 或 $ x = \sqrt{2} $。