《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

8. 如图,在$□ ABCD$中,下列条件：①$AC = BD$；②$\angle 1+\angle 3 = 90^{\circ}$；③$OB= \frac{1}{2}AC$；④$\angle 1 = \angle 2$。其中能判定$□ ABCD$是矩形的有(D)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： D

9. 如图,四边形$ABCD的对角线AC\perp BD于点O$,$E$,$F$,$G$,$H分别为边AB$,$BC$,$CD和AD$的中点,顺次连接$EF$,$FG$,$GH和HE得到四边形EFGH$。若$AC = 10$,$BD = 8$,则四边形$EFGH$的面积等于20。

答案： 20

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中点,连接$AD$,过点$A作AN// BC$。
(1)尺规作图：过点$C作直线CE\perp AN于点E$(保留作图痕迹,不写作法)。图略
(2)求证：四边形$ADCE$是矩形。
证明：∵ AB = AC，D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC. ∵ AN//BC，∴ AD⊥AN. 又 ∵ CE⊥AN，∴ ∠ADC = ∠DAE = ∠AEC = 90°. ∴ 四边形 ADCE 是矩形.

答案： 解：（1）图略. （2）证明：
∵ AB = AC，D 是 BC 的中点，
∴ AD⊥BC.
∵ AN//BC，
∴ AD⊥AN. 又
∵ CE⊥AN，
∴ ∠ADC = ∠DAE = ∠AEC = 90°.
∴ 四边形 ADCE 是矩形.

11. 如图,$AD和BC相交于点O$,$\angle ABO = \angle DCO = 90^{\circ}$,$OB = OC$,$E$,$F分别是AO$,$DO$的中点。
(1)求证：$OE = OF$。

证明：在 △AOB 和 △DOC 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABO = ∠DCO, \\ OB = OC, \\ ∠AOB = ∠DOC, \end{array}\right.$ ∴ △AOB≌△DOC(ASA). ∴ AO = DO. ∵ E，F 分别是 AO，DO 的中点，∴ OE = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OD. ∴ OE = OF.
(2)当$\angle A = 30^{\circ}$时,求证：四边形$BECF$是矩形。
证明：∵ OB = OC，OE = OF，∴ 四边形 BECF 是平行四边形. ∵ ∠A = 30°，∠ABO = 90°，∴ ∠AOB = 60°，OB = $\frac{1}{2}$OA = OE. ∴ BC = EF. ∴ 平行四边形 BECF 是矩形.

答案： 证明：（1）在 △AOB 和 △DOC 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABO = ∠DCO, \\ OB = OC, \\ ∠AOB = ∠DOC, \end{array}\right.$
∴ △AOB≌△DOC(ASA).
∴ AO = DO.
∵ E，F 分别是 AO，DO 的中点，
∴ OE = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OD.
∴ OE = OF. （2）
∵ OB = OC，OE = OF，
∴ 四边形 BECF 是平行四边形.
∵ ∠A = 30°，∠ABO = 90°，
∴ ∠AOB = 60°，OB = $\frac{1}{2}$OA = OE.
∴ BC = EF.
∴ 平行四边形 BECF 是矩形.

12. 【注重动手操作能力】(教材P28复习题T19变式)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。方法如下：

请用上面图示的方法,解答下列问题：
(1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
如图，取三角形两边中点，连接并作垂线，按图拼接（具体图形略，原理是利用中点连线和平行线性质，通过平移、旋转等操作拼接）。
(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
如图，先连四边形一条对角线，将四边形分为两个三角形，再对每个三角形按（1）操作后拼接（具体图形略，关键是通过对角线分割和三角形的处理来实现）。
（由于无法直接绘制图形，以上答案重点在于阐述方法原理，实际解答时可根据原理准确绘制图形）。

答案：
(1) 如图，取三角形两边中点，连接并作垂线，按图拼接（具体图形略，原理是利用中点连线和平行线性质，通过平移、旋转等操作拼接）。
(2) 如图，先连四边形一条对角线，将四边形分为两个三角形，再对每个三角形按（1）操作后拼接（具体图形略，关键是通过对角线分割和三角形的处理来实现）。
（由于无法直接绘制图形，以上答案重点在于阐述方法原理，实际解答时可根据原理准确绘制图形）。