《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

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【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以$x^{2}+2x-35= 0$为例,构造方法如下:
首先将方程$x^{2}+2x-35= 0$变形为$x(x+2)= 35$,然后画四个长为$x+2$,宽为$x$的矩形,按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图1中大正方形的面积可表示为$(x+x+2)^{2}$,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和,即$4x(x+2)+2^{2}= 4×35+4$.因此,可得新方程$(x+x+2)^{2}= 144$.因为$x$表示边长,所以$2x+2= 12$,即$x= 5$.遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.

【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法,请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程$x^{2}-4x-12= 0(x＞0)$的正确构图是(②).(填序号)

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程$2x^{2}+3x-2= 0$,请将其解答过程补充完整:
第一步:将原方程变形为$x^{2}+\frac {3}{2}x-1= 0$,即$x$$(x+\frac {3}{2})=1$;
第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;
第三步:根据大正方形的面积可得新的方程$(x+x+\frac {3}{2})^{2}=4×1+(\frac {3}{2})^{2}$,解得原方程的一个根为$\frac {1}{2}$.
【拓展应用】一般地,对于形如$x^{2}+ax= b$的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成,中间围成的正方形面积为4,那么此方程的系数$a=$2(或-2),$b=$3,

求得方程的正根为1(或 3).

答案： 【理解应用】 ② 【类比迁移】 $(x+\frac {3}{2})=1$ $(x+x+\frac {3}{2})^{2}=4×1+(\frac {3}{2})^{2}$ $\frac {1}{2}$ 【拓展应用】 2(或-2) 3 1(或 3)