《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 如图,要使$□ ABCD$成为矩形,需添加的条件可以是(C)

A. $AB = BC$
B. $AC\perp BD$
C. $\angle ABC = 90^{\circ}$
D. $\angle 1 = \angle 2$

答案： C

2. 如图,在$□ ABCD$中,$CM\perp AD于点M$,延长$DA至点N$,使$AN = DM$,连接$BN$。求证：四边形$BCMN$是矩形。
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD//BC，AD = BC. ∵ AN = DM，∴ AN + AM = DM + AM，即 NM = AD = BC. 又 ∵ MN//BC，∴ 四边形 BCMN 是平行四边形. 又 ∵ CM⊥AD，∴ ∠CMN = 90°. ∴ 平行四边形 BCMN 是矩形.

答案： 证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC.
∵ AN = DM，
∴ AN + AM = DM + AM，即 NM = AD = BC. 又
∵ MN//BC，
∴ 四边形 BCMN 是平行四边形. 又
∵ CM⊥AD，
∴ ∠CMN = 90°.
∴ 平行四边形 BCMN 是矩形.

3. 在下列条件中,能够判定$□ ABCD$为矩形的是(D)
A. $AB = AC$
B. $AC\perp BD$
C. $AB = AD$
D. $AC = BD$

答案： D

4. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是(C)
A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是不是$90^{\circ}$
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等

答案： C

5. 如图,四边形$ABCD的对角线相交于点O$,$AB = CD$,$AB// CD$。若四边形$AEBO$是菱形。求证：四边形$ABCD$是矩形。

答案： 证明：
∵ 四边形 AEBO 是菱形，
∴ OA = OB.
∵ AB = CD，AB//CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ OA = OC = $\frac{1}{2}$AC，OD = OB = $\frac{1}{2}$BD.
∴ AC = BD.
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.

6. 新考向 开放性问题 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle C = \angle D = 90^{\circ}$。若再添加一个条件,就能推出四边形$ABCD$是矩形,你所添加的条件是∠A = 90°（答案不唯一）(写出一种情况即可)。

答案： ∠A = 90°（答案不唯一）

7. 如图,$O是线段AB$上的一点,$OA = OC$,$OD平分\angle AOC交AC于点D$,$OF平分\angle COB$,$CF\perp OF于点F$。求证：四边形$CDOF$是矩形。
证明：∵ OD 平分 ∠AOC，OF 平分 ∠COB，∴ ∠AOC = 2∠COD，∠COB = 2∠COF. ∵ ∠AOC + ∠BOC = 180°，∴ ∠COD + ∠COF = 90°，即 ∠DOF = 90°. ∵ OA = OC，OD 平分 ∠AOC，∴ OD⊥AC. ∴ ∠CDO = 90°. ∵ CF⊥OF，∴ ∠CFO = 90°. ∴ 四边形 CDFO 是矩形.

答案： 证明：
∵ OD 平分 ∠AOC，OF 平分 ∠COB，
∴ ∠AOC = 2∠COD，∠COB = 2∠COF.
∵ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴ ∠COD + ∠COF = 90°，即 ∠DOF = 90°.
∵ OA = OC，OD 平分 ∠AOC，
∴ OD⊥AC.
∴ ∠CDO = 90°.
∵ CF⊥OF，
∴ ∠CFO = 90°.
∴ 四边形 CDFO 是矩形.