《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件中的一个,能使菱形ABCD成为正方形的是(A)

A. $∠ABC= 90^{\circ}$
B. $AC= AD$
C. $BD= AB$
D. $OD= AC$

答案： A

2. 下列说法正确的是(B)
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形
D. 各边都相等的四边形是正方形

答案： B

3. 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是(C)

A. $AB= AD且AC⊥BD$
B. $AC⊥BD$且AC和BD互相平分
C. $∠ABC= 90^{\circ}且AB= AD$
D. $∠BAD= ∠ABC且AC= BD$

答案： C

4. 如图,将矩形纸片折叠,使点A落在BC上点F处,折痕为BE.若沿EF把所折部分剪下来,展开是一个正方形,其数学原理是(B)

A. 正方形是轴对称图形
B. 邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 正方形被对角线分成两个全等的等腰三角形

答案： B

5. 新考向 开放性问题(2023·黑龙江)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件：AC⊥BD(答案不唯一),使得矩形ABCD为正方形.

答案： AC⊥BD(答案不唯一)

6. 如图,把一个矩形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的锐角的度数应为45°.

答案： 45°

7. 如图,D是$Rt△ABC$的斜边BC的中点,$DE⊥AC$,$DF⊥AB$,垂足分别是E,F,且$BF= CE$.求证：四边形AEDF为正方形.
证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠AFD=∠AED=∠A=90°.∴四边形AEDF是矩形.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE中,{BD = CD, BF = CE}，∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL).∴DF=DE.∴矩形AEDF为正方形.

答案： 证明:
∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠AFD=∠AED=∠A=90°.
∴四边形AEDF是矩形.
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE中,{BD = CD, BF = CE}，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL).
∴DF=DE.
∴矩形AEDF为正方形.

8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且$BE= DF$,$OE= OA$.求证：四边形AECF是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OB−BE=OD−DF,即OE=OF;∴四边形AECF为平行四边形.又∵AC⊥BD,∴平行四边形AECF是菱形.∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC.∴菱形AECF是正方形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,
∴OB−BE=OD−DF,即OE=OF;
∴四边形AECF为平行四边形.又
∵AC⊥BD,
∴平行四边形AECF是菱形.
∵OE=OA=OF,
∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC.
∴菱形AECF是正方形.