《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是(C)
A. 对角线互相垂直
B. 对角线相等
C. 对角线互相平分
D. 对角线平分对角

答案： C

2. (2023·自贡)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,则点C的坐标是(C)

A. $(3,-3)$
B. $(-3,3)$
C. $(3,3)$
D. $(-3,-3)$

答案： C

3. 如图,正方形ABCD的边长为1,E,F是对角线AC上的两点,$EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD$,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于(B)

A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{4}$

答案： B

4. 新考向 传统文化 如图1所示的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一,方鼎的口呈正方形(如图2),正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是(B)


A. $AC⊥BD$
B. $AD= AO$
C. $DO= CO$
D. $∠DAO= ∠BAC$

答案： B

5. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若$EF= 2$,则AC的长是____4.

答案： 4

6. (2024·常州)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是$(2,1)$,则点C的坐标是$(-2,-1)$.

答案： $(-2,-1)$

7. (2024·兰州)如图,四边形ABCD为正方形,$△ADE$为等边三角形,$EF⊥AB$于点F.若$AD= 4$,则$EF=$2.

答案： 2

8. 如图,以AD为边在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则$∠BED=$$45^{\circ}$.
【拓展变式】 在正方形ABCD所在的平面内,以AD为边作等边三角形ADE,则$∠BED=$$45^{\circ}$或$135^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$
【拓展变式】$45^{\circ}$或$135^{\circ}$

9. 如图,在正方形ABCD中,点E在边BC的延长线上,点F在边CD的延长线上,且$CE= DF$,连接AE和BF相交于点M.求证:$AE= BF$.
证明：在正方形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$，$\angle ABC=\angle BCD = 90^{\circ}$．$\because CE = DF$，$\therefore$$BE = CF$．在$\triangle AEB$和$\triangle BFC$中，$\left\{\begin{array}{l} AB = BC,\\ \angle ABE = \angle BCF,\\ BE = CF,\end{array}\right.$$\therefore$$\triangle AEB\cong \triangle BFC(SAS)$．$\therefore AE = BF$．

答案： 证明：在正方形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$，$\angle ABC=\angle BCD = 90^{\circ}$．$\because CE = DF$，$\therefore BE = CF$．在$\triangle AEB$和$\triangle BFC$中，$\left\{\begin{array}{l} AB = BC,\\ \angle ABE = \angle BCF,\\ BE = CF,\end{array}\right.$$\therefore \triangle AEB\cong \triangle BFC(SAS)$．$\therefore AE = BF$．

10. 已知正方形ABCD的边长为6,如果P是正方形内一点,且$PB= PD= 2\sqrt{5}$,那么AP的长为$4\sqrt {2}$或$2\sqrt {2}$.

答案： $4\sqrt {2}$或$2\sqrt {2}$