《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

10. (2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为$3\sqrt {2}$,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,$OE= 5$,连接DE.
(1)线段AE的长为______2.
(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为______$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

答案：
(1) 2
(2) $ \frac{\sqrt{10}}{2} $

11. 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,且$AE= BF$.
(1)试探索线段AF,DE的数量关系,写出你的结论,并说明理由.
结论：AF=DE
(2)连接EF,DF,分别取AE,EF,FD,DA的中点H,I,J,K,顺次连接,得到四边形HIJK.
①请在图2中补全图形.
②四边形HIJK是什么特殊平行四边形?请说明理由.
答：四边形HIJK是正方形

答案： 解:
(1) $ AF = DE $. 理由如下: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ \therefore AD = BA $, $ \angle DAE = \angle ABF = 90^{\circ} $. $ \because AE = BF $, $ \therefore \triangle DAE \cong \triangle ABF (SAS) $. $ \therefore AF = DE $.
(2) ① 图略. ② 四边形 $ HIJK $ 是正方形. 理由如下: $ \because H $, $ I $, $ J $, $ K $ 分别是 $ AE $, $ EF $, $ FD $, $ DA $ 的中点, $ \therefore HI = KJ = \frac{1}{2}AF $, $ HK = IJ = \frac{1}{2}ED $, $ HI // AF $, $ HK // DE $. $ \because AF = DE $, $ \therefore HI = KJ = HK = IJ $. $ \therefore $ 四边形 $ HIJK $ 是菱形. $ \because \triangle DAE \cong \triangle ABF $, $ \therefore \angle ADE = \angle BAF $. $ \because \angle ADE + \angle AED = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle BAF + \angle AED = 90^{\circ} $. $ \therefore \angle AOE = 90^{\circ} $. 又 $ \because HI // AF $, $ HK // DE $, $ \therefore $ 易得 $ \angle KHI = 90^{\circ} $. $ \therefore $ 菱形 $ HIJK $ 是正方形.

12. 综合与实践:
宽与长的比是$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$(约为0.618)的矩形叫黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用黄金矩形的设计,如希腊的帕特农神庙等.
实践操作:下面我们折叠出一个黄金矩形(如图所示).
第一步:在一张矩形纸片的一端,利用图1的方法折出一个正方形,然后把纸展平.

第二步:如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步:折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到如图3所示的AD处.

第四步:展平纸片,按照所得的点D折出DE,则矩形BCDE(图4)就是黄金矩形.
问题解决:
(1)请在图1中证明四边形MNCB是正方形.
(2)若$MN= 4$,请通过计算$\frac {BE}{BC}$的值来说明矩形BCDE是黄金矩形.

答案： 解:
(1) 证明: 由矩形的性质可知, $ \angle BMN = \angle N = 90^{\circ} $, 由折叠可知, $ \angle MBC = \angle N = 90^{\circ} $, $ MN = MB $, $ \therefore \angle BMN = \angle N = \angle MBC = 90^{\circ} $. $ \therefore $ 四边形 $ MNCB $ 是矩形. 又 $ \because MN = MB $, $ \therefore $ 矩形 $ MNCB $ 是正方形.
(2) $ \because MN = 4 $, $ \therefore NC = BC = MN = 4 $. $ \therefore AC = \frac{1}{2}NC = 2 $. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5} $. 由折叠可知, $ AD = AB = 2\sqrt{5} $, $ \therefore BE = CD = AD - AC = 2\sqrt{5} - 2 $. $ \therefore \frac{BE}{BC} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $. $ \therefore $ 矩形 $ BCDE $ 是黄金矩形.