《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. (2024·自贡)关于x的方程$x^{2}+mx - 2 = 0$根的情况是 (A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

2. 一元二次方程$(x + 1)(x - 1) = 2x - 2$的根的情况是 (B)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： B

3. 定义运算:$m☆n = mn^{2}-mn - 1$. 例如:$4☆2 = 4×2^{2}-4×2 - 1 = 7$,则方程$1☆x = 0$的根的情况为 (A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 只有一个实数根

答案： A

4. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(a + b)x + 2ab = 0$,其中a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则一元二次方程$x^{2}-(a + b)x + 2ab = 0$的根的情况是 (C)

A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

答案： C

5. (2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-mx - n^{2}+mn + 1 = 0$,其中m,n满足$m - 2n = 3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是 (C)
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

答案： C

6. 若方程$x^{2}-2x + m = 0$没有实数根,则m的值可以是 (D)
A. -1
B. 0
C. 1
D. $\sqrt{3}$

答案： D

7. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1 + 2c) = $ (A)
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4

答案： A

8. 若关于x的一元二次方程$kx^{2}+3x - 1 = 0$有实数根,则k的取值范围是 (D)
A. $k\leqslant-\frac{9}{4}$
B. $k\leqslant-\frac{9}{4}且k\neq0$
C. $k\geqslant-\frac{9}{4}$
D. $k\geqslant-\frac{9}{4}且k\neq0$

答案： D

9. 若关于x的一元二次方程$\frac{1}{4}x^{2}-x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数$y = kx + b$的大致图象可能是 (B)

答案： B

10. 新考向 开放性问题(2024·南通)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的k的值:-1（答案不唯一）.

答案： -1（答案不唯一）

11. 若关于x的一元二次方程$mx^{2}+(2m + 3)x + m + 1 = 0$有两个不相等的实数根,求m的取值范围.

答案： 解：
∵一元二次方程 $ mx^{2}+(2m+3)x+m+1=0 $ 有两个不相等的实数根，
∴ $ \Delta =(2m+3)^{2}-4m(m+1)=8m+9＞0 $，且 $ m\neq 0 $.
∴ $ m＞-\frac{9}{8} $ 且 $ m\neq 0 $.