《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 下列方程:①$x^{2}+1= 0$;②$ax^{2}+bx+c= 0$;③$x^{2}+\frac {1}{x}= 3$;④$\frac {y^{2}}{4}+3y= 1$;⑤$(x-1)(x+1)= (x+2)(x-2)+2x-5$.其中一定是一元二次方程的有 (B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

2. 若方程$(a-2)x^{a^{2}-2}+3x= 0$是关于x的一元二次方程,则a的值为-2.

答案： -2

3. (2024·南充)已知m是方程$x^{2}+4x-1= 0$的一个根,则$(m+5)(m-1)$的值为-4.

答案： -4

4. (2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023= 0$,将它转化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a^{b}$的值为 (D)
A. -2024
B. 2024
C. -1
D. 1

答案： D

5. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程$x^{2}-5x+6= 0$的两个根,则此直角三角形的斜边长是 (A)
A. $\sqrt {13}$
B. $\sqrt {5}$
C. 13
D. 5

答案： A

6. (2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则$a= $ (C)
A. 1
B. $\sqrt {2}-1$
C. $\sqrt {2}+1$
D. 1或$\sqrt {2}+1$

答案： C

7. 解方程:
(1)$2x^{2}-4x-5= 0$.
解: ∵ $ a = $2，$ b = $-4，$ c = $-5，∴ $ \Delta = (-4)^2 - 4 × 2 × (-5) = $56＞ 0 。∴ $ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{2 × 2} = $$\frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}$。∴ $ x_1 = $$\frac{2 + \sqrt{14}}{2}$，$ x_2 = $$\frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
(2)$5x(3x+2)= 6x+4$.
解: $ 5x(3x + 2) = $2(3x + 2)，$(3x + 2)(5x - 2) = 0$。∴ $ 3x + 2 = 0 $ 或 $ 5x - 2 = 0 $。∴ $ x_1 = $$-\frac{2}{3}$，$ x_2 = $$\frac{2}{5}$。

答案： 解:
(1)
∵ $ a = 2 $，$ b = -4 $，$ c = -5 $，
∴ $ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 56 ＞ 0 $。
∴ $ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{2 \times 2} = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2} $。
∴ $ x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2} $，$ x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2} $。
(2) $ 5x(3x + 2) = 2(3x + 2) $，$ (3x + 2)(5x - 2) = 0 $。
∴ $ 3x + 2 = 0 $ 或 $ 5x - 2 = 0 $。
∴ $ x_1 = -\frac{2}{3} $，$ x_2 = \frac{2}{5} $。

8. (2024·河南)若关于x的方程$\frac {1}{2}x^{2}-x+c= 0$有两个相等的实数根,则c的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $ \frac{1}{2} $

9. (2024·云南)若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+c= 0$无实数根,则实数c的取值范围为$ c ＞ 1 $.

答案： $ c ＞ 1 $

10. (2024·西宁)已知方程$x^{2}+2x-1= 0$的两根分别为a和b,则$4a^{2}+8ab+4b^{2}$的值为16.

答案： 16

11. 已知a,b,c为常数,点$P(a,c)$在第四象限,则关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0$的根的情况是 (B)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判定

答案： B

12. 已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程$x^{2}-3x+2= 0$的两根,则此菱形的面积是 (C)
A. $\frac {\sqrt {5}}{2}$
B. $\sqrt {5}$
C. 1
D. 2

答案： C

13. (2024·泰安)关于x的一元二次方程$2x^{2}-3x+k= 0$有实数根,则实数k的取值范围是 (B)
A. $k＜\frac {9}{8}$
B. $k≤\frac {9}{8}$
C. $k≥\frac {9}{8}$
D. $k＜-\frac {9}{8}$

答案： B