《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

(1)折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
(2)折痕可看作垂直平分线:如图,$GF\perp$AE,$GE= $AG,$AO= $OE(折痕垂直平分两个对应点的连线).
(3)折痕可看作角平分线:如图,$\angle EGF= $$\angle AGF$(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).

答案： AE AG OE $\angle AGF$

1.如图,正方形$ABCD$的边长为3,将正方形折叠,使点$A落在边CD上的点A'$处,点$B落在点B'$处,折痕为$EF$.若$A'C= 2$,则$DF$的长是(B)

A.1
B.$\frac {4}{3}$
C.$\frac {5}{3}$
D.2

答案： B

2.如图,将矩形$ABCD$对折,使边$AB与CD$重合,得到折痕$MN$,再将点$A沿过点D的直线折叠到MN$上,对应点为$A'$,折痕为$DE$.若$AB= 10$,$BC= 6$,则$A'N$的长为(A)

A.$10-3\sqrt {3}$
B.4
C.$10-2\sqrt {3}$
D.3

答案： A

3.(2024·河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形$ABCD的边AB在x$轴上,点$A的坐标为(-2,0)$,点$E在边CD$上.将$\triangle BCE沿BE$折叠,点$C落在点F$处.若点$F的坐标为(0,6)$,则点$E$的坐标为____(3,10).

答案： $(3,10)$

4.如图,在菱形$ABCD$中,$\angle BAD= 60^{\circ }$,点$E在边BC$上,将$\triangle ABE沿直线AE$翻折,得到$\triangle AB'E$,点$B的对应点是B'$,连接$BB'$.若$AB'\perp BD$,$BE= 2$,则$BB'$的长是____$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

5.如图所示,在矩形$ABCD$中,$AB= 3$,$AD= 6$,点$P在AD$上,且$PD= 2$,$E是线段BC$上不与端点重合的一个动点,连接$BP$,$EP$,将$\triangle BPE关于直线PE对称的三角形记作\triangle FPE$.若$PF$垂直于矩形的任意一边,则线段$BE$的长是2.5 或 5.

答案： 2.5 或 5

6.如图,一张矩形纸片$ABCD$,将点$B翻折到对角线AC上的点M$处,折痕$CE交AB于点E$.将点$D翻折到对角线AC上的点H$处,折痕$AF交DC于点F$,折叠出四边形$AECF$.
(1)求证:$AF// CE$.
(2)当$\angle BAC= $30度时,四边形$AECF$是菱形,请说明理由.

(1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ $AD // BC$. ∴ $\angle DAC = \angle BCA$. 由折叠的性质, 得 $\angle DAF = \angle HAF = \frac{1}{2} \angle DAC$, $\angle BCE = \angle MCE = \frac{1}{2} \angle BCA$, ∴ $\angle HAF = \angle MCE$. ∴ $AF // CE$. (2) 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ $\angle D = \angle BAD = 90^{\circ}$, $AB // CD$. 由 (1) 得, $AF // CE$, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ $\angle BAC = 30^{\circ}$, ∴ $\angle DAC = 60^{\circ}$, $\angle ACD = 30^{\circ}$. 由折叠的性质, 得 $\angle DAF = \angle HAF = 30^{\circ}$, ∴ $\angle HAF = \angle ACD$. ∴ $AF = CF$. ∴ 平行四边形 AECF 是菱形.

答案： 解:
(1) 证明:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AD // BC$.
∴ $\angle DAC = \angle BCA$. 由折叠的性质, 得 $\angle DAF = \angle HAF = \frac{1}{2} \angle DAC$, $\angle BCE = \angle MCE = \frac{1}{2} \angle BCA$,
∴ $\angle HAF = \angle MCE$.
∴ $AF // CE$.
(2) 30 理由如下:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $\angle D = \angle BAD = 90^{\circ}$, $AB // CD$. 由
(1) 得, $AF // CE$,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ $\angle BAC = 30^{\circ}$,
∴ $\angle DAC = 60^{\circ}$, $\angle ACD = 30^{\circ}$. 由折叠的性质, 得 $\angle DAF = \angle HAF = 30^{\circ}$,
∴ $\angle HAF = \angle ACD$.
∴ $AF = CF$.
∴ 平行四边形 AECF 是菱形.