《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

12. 如图,图2中的矩形是由图1中的矩形的宽增大2x,长增大x得到的.若两个矩形相似(不全等),则x的值是(A)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： A

13. (教材P88习题T3变式)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上的一点,BE= BC,过点E作EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为F,G,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $.

答案： $ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $

14. (2023·威海改编)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠,使边DA落在边DC上,点A落在点H处,折痕为DE；使边CB落在边CD上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD= 1,则CD的长为$\sqrt{2}+1$.

答案： $ \sqrt { 2 } + 1 $

15. (教材P88随堂练习T2变式)已知长AB= 30,宽BC= 20的矩形黑板ABCD.

(1)如图1,若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域,则图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗?请说明理由.不相似．理由如下：∵AB=30，A'B'=30-2=28，BC=20，B'C'=20-2=18，而28/30≠18/20，∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似．
(2)如图2,当x的值为多少时,图中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似?1.5或9

答案： 解：
(1)不相似．理由如下：
∵$ A B = 30 $，$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 30 - 2 = 28 $，$ B C = 20 $，
$ B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 20 - 2 = 18 $，而$ \frac { 28 } { 30 } \neq \frac { 18 } { 20 } $，
∴矩形 $ A B C D $ 与矩形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 不相似．
(2)若矩形 $ A B C D $ 与矩形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 相似，则$ \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } = \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { B C } $或$ \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { B C } = \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { A B } $，即$ \frac { 30 - 2 x } { 30 } = \frac { 20 - 2 } { 20 } $或$ \frac { 30 - 2 x } { 20 } = \frac { 20 - 2 } { 30 } $，解得$ x = 1.5 $或$ x = 9 $．故当 $ x $ 的值为 $ 1.5 $ 或 $ 9 $ 时，矩形 $ A B C D $ 与矩形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 相似．

16. 如图,E是菱形ABCD对角线CA的延长线上一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是$\sqrt{3}:2$,连接EB,GD.
(1)求证：EB= GD.
(2)若∠DAB= 60°,AB= 2,求GD的长.

(1)证明：∵菱形 $ A E F G \backsim $ 菱形 $ A B C D $，∴$ A E = A G $，$ A B = A D $，$ \angle E A G = \angle B A D $．∴$ \angle E A G + \angle G A B = \angle B A D + \angle G A B $，即$ \angle E A B = \angle G A D $．∴$ \triangle A E B \cong \triangle A G D ( SAS ) $．∴$ E B = G D $．
(2)连接 $ B D $，交 $ A C $ 于点 $ P $，则 $ B P \perp A C $．∵菱形是轴对称图形，∴$ A C $ 平分 $ \angle D A B $．∵$ \angle D A B = 60 ^ { \circ } $，∴$ \angle P A B = 30 ^ { \circ } $．∵菱形 $ A E F G \backsim $ 菱形 $ A B C D $，相似比是$ \sqrt { 3 } : 2 $，$ A B = 2 $，∴$ A E = \sqrt { 3 } $，$ B P = \frac { 1 } { 2 } A B = 1 $．∴$ A P = \sqrt { A B ^ { 2 } - B P ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $．∴$ E P = 2 \sqrt { 3 } $．∴$ E B = \sqrt { E P ^ { 2 } + B P ^ { 2 } } = \sqrt { 13 } $．∴$ G D = $$\sqrt{13}$．

答案： 解：
(1)证明：
∵菱形 $ A E F G \backsim $ 菱形 $ A B C D $，
∴$ A E = A G $，$ A B = A D $，$ \angle E A G = \angle B A D $．
∴$ \angle E A G + \angle G A B = \angle B A D + \angle G A B $，即$ \angle E A B = \angle G A D $．
∴$ \triangle A E B \cong \triangle A G D ( S A S ) $．
∴$ E B = G D $．
(2)连接 $ B D $，交 $ A C $ 于点 $ P $，则 $ B P \perp A C $．
∵菱形是轴对称图形，
∴$ A C $ 平分 $ \angle D A B $．
∵$ \angle D A B = 60 ^ { \circ } $，
∴$ \angle P A B = 30 ^ { \circ } $．
∵菱形 $ A E F G \backsim $ 菱形 $ A B C D $，相似比是$ \sqrt { 3 } : 2 $，$ A B = 2 $，
∴$ A E = \sqrt { 3 } $，$ B P = \frac { 1 } { 2 } A B = 1 $．
∴$ A P = \sqrt { A B ^ { 2 } - B P ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $．
∴$ E P = 2 \sqrt { 3 } $．
∴$ E B = \sqrt { E P ^ { 2 } + B P ^ { 2 } } = \sqrt { 13 } $．
∴$ G D = \sqrt { 13 } $．