《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

7. 下列方程中,无实数根的方程是(D)
A. $x^{2}+3x= 0$
B. $x^{2}+2x-1= 0$
C. $x^{2}+2x+1= 0$
D. $x^{2}-x+3= 0$

答案： D

8. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4x+m= 0$.
(1) 根的判别式$\Delta =b^{2}-4ac=$$16 - 4m$.
(2) 当$m$$＜4$时,方程有两个不相等的实数根.
(3) 当$m$$=4$时,方程有两个相等的实数根.
(4) 当$m$$＞4$时,方程没有实数根.

答案：
(1)$16 - 4m$
(2)$＜4$
(3)$=4$
(4)$＞4$

9. (2024·广安)若关于$x的一元二次方程(m+1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是(A)
A. $m＜0且m≠-1$
B. $m≥0$
C. $m≤0且m≠-1$
D. $m＜0$

答案： A

10. 若关于$x的方程kx^{2}-3x-\frac {9}{4}= 0$有实数根,则实数$k$的取值范围是$k\geq - 1$.

答案： $k\geq - 1$

11. (2023·泸州)关于$x的一元二次方程x^{2}+2ax+a^{2}-1= 0$的根的情况是(C)
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数$a$的取值有关

答案： C

12. 已知$a,b,c$是三角形的三边长,且关于$x的方程(a+b)x^{2}+2cx+(a-b)= 0$有两个相等的实数根,则该三角形是直角三角形.

答案： 直角

13. 新考向 新定义问题 在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则如下:$a☆b= a^{2}+b^{2},a★b= \frac {ab}{2}$,则方程$1☆x= x★6$的解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

答案： $x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

14. 用公式法解下列方程:
(1)$(2x-1)(x-1)+1= 0$.
解：整理，得$2x^{2}-3x + 2 = 0$。$\because a = $2，$b = $-3，$c = $2，$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = $$(-3)^{2}-4×2×2$=-7＜0。$\therefore$原方程无解。
(2)$3x^{2}= 2\sqrt {3}x-1$.
解：整理，得$3x^{2}-2\sqrt{3}x + 1 = 0$。$\because a = $3，$b = $$-2\sqrt{3}$，$c = $1，$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = $$(-2\sqrt{3})^{2}-4×3×1$=0。$\therefore x=$$\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×3}$。$\therefore x_{1}=x_{2}=$$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： 解：
(1)整理，得$2x^{2}-3x + 2 = 0$。$\because a = 2$，$b = -3$，$c = 2$，$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\times2\times2=-7＜0$。$\therefore$原方程无解。
(2)整理，得$3x^{2}-2\sqrt{3}x + 1 = 0$。$\because a = 3$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = 1$，$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = (-2\sqrt{3})^{2}-4\times3\times1 = 0$。$\therefore x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2\times3}$。$\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

15. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k+1)x+2k-2= 0$.
(1) 试判断方程的根的情况.
(2) 若此方程有一个根大于0且小于1,求$k$的取值范围.

答案： 解：
(1)$\because\Delta = [-(k + 1)]^{2}-4(2k - 2)=k^{2}-6k + 9=(k - 3)^{2}\geq0$，$\therefore$此方程总有两个实数根。
(2)$x=\frac{(k + 1)\pm\sqrt{(k - 3)^{2}}}{2}$，即$x_{1}=k - 1$，$x_{2}=2$。$\because$此方程有一个根大于$0$且小于$1$，$\therefore0＜k - 1＜1$。$\therefore1＜k＜2$。