《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 下列选项中能使▱ ABCD成为菱形的是(B)
A.$AB= CD$
B.$AB= BC$
C.$∠BAD= 90^{\circ }$
D.$AC= BD$

答案： B

2. 如图,在▱ ABCD中,$AB= 9cm$,$BC= 4cm$,将CB沿BA方向平移得到EF(点F在边AB上),则当$BF= $5cm时,四边形DAFE是菱形,依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

答案： 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

3. 如图,在▱ ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且BE平分$∠ABC$,$EF// AB$. 求证：四边形ABFE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.又∵EF//AB，∴四边形ABFE是平行四边形.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBF.∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBF.∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE.∴平行四边形ABFE是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.又
∵EF//AB，
∴四边形ABFE是平行四边形.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF.
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBF.
∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
∴平行四边形ABFE是菱形.

4. (2023·齐齐哈尔)如图,在四边形ABCD中,$AD= BC$,$AC⊥BD$于点O. 请添加一个条件：AD//BC（答案不唯一）,使四边形ABCD成为菱形.

答案： AD//BC（答案不唯一）

5. (教材P6例2变式)(2023·永州)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,$OA= 3$,$BD= 8$,$AB= 5$.
(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由.
解：△AOB是直角三角形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=8，∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4.∵OA=3，OB=4，AB=5，∴OA²+OB²=AB².∴△AOB是直角三角形.
(2)求证：四边形ABCD是菱形.
证明：由(1)可知，∠AOB=90°，∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.

答案： 解：
(1)△AOB是直角三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=8，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4.
∵OA=3，OB=4，AB=5，
∴OA²+OB²=AB².
∴△AOB是直角三角形.
(2)证明：由
(1)可知，∠AOB=90°，
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.

6. 如图,$△ABC$是等腰三角形,把它沿底边BC翻折后,得到$△DBC$,则四边形ABDC为菱形,理由是四边相等的四边形是菱形.

答案： 菱 四边相等的四边形是菱形

7. 如图,四边形ABCD的对角线交于点O,$AC⊥BD$,$AB= BC= CD$. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵BC=CD，AC⊥BD于点O，∴OB=OD.∴直线AC是线段BD的垂直平分线.AB=AD.∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：
∵BC=CD，AC⊥BD于点O，
∴OB=OD.
∴直线AC是线段BD的垂直平分线.AB=AD.
∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.

8. 下列命题中,正确的是①⑤⑥(填序号).
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线相等的平行四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
⑥对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

答案： ①⑤⑥