《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

10. 如图所示,四边形ABCD和$A'B'C'D'$是以点O为位似中心的位似图形.若$OA:AA'= 1:3$,四边形ABCD的面积是3,则四边形$A'B'C'D'$的面积是48.

答案： 48

11. 在如图所示的网格图中,若$\triangle P'Q'R'与\triangle PQR$是以点O为位似中心的同侧位似图形,且相似比为2,则点Q的对应点$Q'$的位置应在 (C)

A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D

答案： C

12. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形,$∠AOB= ∠BOC= ∠COD= ... =∠LOM= 30^{\circ }$.若$S_{\triangle AOB}= 1$,则图中与$\triangle AOB$位似的三角形的面积为 (C)

A. $(\frac {4}{3})^{3}$
B. $(\frac {4}{3})^{7}$
C. $(\frac {4}{3})^{6}$
D. $(\frac {3}{4})^{6}$

答案： C

13. 如图,$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是位似图形,点A,B,$A'$,$B'$,O共线,点O为位似中心.
(1)$AC与A'C'$平行吗? 为什么?
答：平行。理由如下: $\because \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 是位似图形, $\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$. $\therefore \angle A=\angle C'A'B'$. $\therefore AC// A'C'$.
(2)若$AB= 2A'B'$,$OC'= 5$,求$CC'$的长.
解：$\because \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$, $\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$. $\because AB=2A'B'$, $\therefore \frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{1}$. 又 $\because \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 是位似图形, $\therefore \frac{OC}{OC'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{1}$. $\because OC'=5$, $\therefore OC=10$. $\therefore CC'=OC - OC'=10 - 5 =$5.

答案： 解:
(1) $AC// A'C'$. 理由如下: $\because \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 是位似图形, $\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$. $\therefore \angle A=\angle C'A'B'$. $\therefore AC// A'C'$.
(2) $\because \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$, $\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$. $\because AB=2A'B'$, $\therefore \frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{1}$. 又 $\because \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 是位似图形, $\therefore \frac{OC}{OC'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{1}$. $\because OC'=5$, $\therefore OC=10$. $\therefore CC'=OC - OC'=10 - 5 = 5$.

14. 新考向 推理能力 图1、图2、图3都是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.点A,B,C均在格点上.在图1、图2、图3给定的网格中,仅用无刻度的直尺,按下列要求完成作图,并保留作图痕迹.
(1)在图1中,以点C为位似中心,将$\triangle ABC$放大到原来的2倍.
(2)在图2中,在线段BC上作点D,使得$CD= 3BD$,并写出证明过程.
(3)在图3中,作$\triangle BEF\backsim \triangle BAC$,且相似比为$3:4$,并写出证明过程.

答案：
解:
(1)如图1, $\triangle A'B'C$ 即为所求.
(2)如图2,取格点 $M,N$,使 $\frac{BM}{CN}=\frac{1}{3}$,连接 $MN$ 交 $BC$ 于点 $D$,则点 $D$ 即为所求.证明:由作图可知, $\triangle BDM\backsim \triangle CDN$. $\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BM}{CN}=\frac{1}{3}$. $\therefore CD=3BD$. $\therefore$ 点 $D$ 即为所求.
(3)如图3,取格点 $D,E$,连接 $DE$ 交 $BC$ 于点 $F$,则 $\triangle BEF$ 即为所求.证明:由作图可知, $\triangle BEF\backsim \triangle BAC$,且 $\frac{BE}{BA}=\frac{3}{4}$, $\therefore$ 相似比为 $3:4$. $\therefore \triangle BEF$ 即为所求.