《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

8. 已知一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍,且个位数字比十位数字大2,则这个两位数是24.

答案： 24

9. (教材P58复习题T20变式)如图,一次函数y= -2x+6的图象交x轴于点A,交y轴于点B,点P在线段AB上(不与点A,B重合),过点P分别作OA和OB的垂线,垂足为C,D.当矩形OCPD的面积为4时,点P的坐标为(1,4)或(2,2).

答案： (1,4)或(2,2)

10. 如图,一个长为15m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的距离OA为12m,梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离与点B向外移动的距离可能相等吗？若可能,请求出这个距离；若不可能,请说明理由.

解:假设梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离与点B向外移动的距离相等,且这个距离为xm,即$AA' = BB' = x$m.在$Rt\triangle AOB$中,$OB = \sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=$9(m).则$OA'=$(12 - x)m,$OB'=$(9 + x)m.在$Rt\triangle A'OB'$中,根据勾股定理,得$OA'^{2}+OB'^{2}=A'B'^{2}$,$\therefore (12 - x)^{2}+(9 + x)^{2}=15^{2}$,解得$x_{1}=$0(舍去),$x_{2}=$3.答:梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离与点B向外移动的距离可能相等,且这个距离是3m.

答案： 解:假设梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离与点B向外移动的距离相等,且这个距离为x m,即$AA' = BB' = x$m.在$Rt\triangle AOB$中,$OB = \sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$(m).则$OA'=(12 - x)$m,$OB'=(9 + x)$m.在$Rt\triangle A'OB'$中,根据勾股定理,得$OA'^{2}+OB'^{2}=A'B'^{2}$,$\therefore (12 - x)^{2}+(9 + x)^{2}=15^{2}$,解得$x_{1}=0$(舍去),$x_{2}=3$.答:梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离与点B向外移动的距离可能相等,且这个距离是3 m.

11. (教材P57复习题T18变式)如图,已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动,距台风中心20√10海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区.当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正南方向的B处,且AB= 100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风？若会,试求轮船最初遇到台风的时间；若不会,请说明理由.

解:假设途中会遇到台风,且最初遇到的时间为t h,此时轮船位于C处,台风中心移到E处,连接CE,则$AC = 20t$,$AE = AB - BE = 100 - 40t$,$CE = 20\sqrt{10}$.在$Rt\triangle ACE$中,根据勾股定理,得$AC^{2}+AE^{2}=EC^{2}$.$\therefore (20t)^{2}+(100 - 40t)^{2}=(20\sqrt{10})^{2}$,解得$t_{1}=$1,$t_{2}=$3(不合题意,舍去).答:这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会遇到台风,且轮船最初遇到台风的时间为从A处出发后1 h.

答案： 解:假设途中会遇到台风,且最初遇到的时间为t h,此时轮船位于C处,台风中心移到E处,连接CE,则$AC = 20t$,$AE = AB - BE = 100 - 40t$,$CE = 20\sqrt{10}$.在$Rt\triangle ACE$中,根据勾股定理,得$AC^{2}+AE^{2}=EC^{2}$.$\therefore (20t)^{2}+(100 - 40t)^{2}=(20\sqrt{10})^{2}$,解得$t_{1}=1,t_{2}=3$(不合题意,舍去).答:这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会遇到台风,且轮船最初遇到台风的时间为从A处出发后1 h.

12. 如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC和CD向点D以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,其中一点到终点,另一点也随之停止,那么经过2或$\frac{10}{3}$s,△PBQ的面积等于$8cm^2.$

答案： 2或$\frac{10}{3}$