《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

11. 小明家客厅里装有一种三位开关,分别控制着A(餐厅),B(客厅),C(走廊)三盏电灯,按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯,由于刚搬进新房不久,小明不熟悉情况.
(1)若小明任意按下一个开关,则能打开客厅灯的概率为$\frac{1}{3}$.
(2)若小明任意按下一个开关后,再按下剩下两个开关中的一个,则正好客厅灯和走廊灯亮的概率是多少? 请用画树状图法或列表法说明.

解: (2) 画树状图略. 由树状图可知, 共有 6 种等可能的结果, 其中客厅灯和走廊灯亮的结果有 2 种, ∴ 正好客厅灯和走廊灯亮的概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

答案： 解:
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图略. 由树状图可知, 共有 6 种等可能的结果, 其中客厅灯和走廊灯亮的结果有 2 种,
∴ 正好客厅灯和走廊灯亮的概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

12. (2023·南通)有同型号的A,B两把锁和同型号的a,b,c三把钥匙,其中a钥匙只能打开A锁,b钥匙只能打开B锁,c钥匙不能打开这两把锁.
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙,则取出c钥匙的概率为$\frac{1}{3}$.
(2)从两把锁中随机取出一把锁,从三把钥匙中随机取出一把钥匙,求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率.
解: (2) 画树状图略. 由树状图可知, 共有 6 种等可能的结果, 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有 2 种, 即 Aa, Bb, ∴ 取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

答案： 解:
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图略. 由树状图可知, 共有 6 种等可能的结果, 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有 2 种, 即 Aa, Bb,
∴ 取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

13. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准(2022版)》中四大领域之一,某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习,设置了“A.制作视力表”“B.猜想、证明与拓广”“C.池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择,每名学生只选择其中一个项目进行学习,现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格:

请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:$a = $0.1,$b = $16,$c = $0.4.
(2)该校九年级学生共有500名,请估计选择“B.猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数.
(3)本次调查中,选择“A.制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生,现从中随机选取两人在全年级作汇报展示,请利用画树状图或列表的方法,求恰好选到一名女生和一名男生的概率.
(2) $500 × 0.4 = 200$ (人).
答: 估计选择 “B. 猜想、证明与拓广” 项目学习的学生人数为 200 人. (3) 列表略. 共有 12 种等可能的结果, 其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有 6 种, ∴ 恰好选到一名女生和一名男生的概率为 $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

答案： 解:
(1) 0.1 16 0.4
(2) $500 \times 0.4 = 200$ (人). 答: 估计选择 “B. 猜想、证明与拓广” 项目学习的学生人数为 200 人.
(3) 列表略. 共有 12 种等可能的结果, 其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有 6 种,
∴ 恰好选到一名女生和一名男生的概率为 $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.