《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 关于菱形的性质,以下说法不正确的是(B)
A. 四条边相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 是轴对称图形

答案： B

2. 新考向 开放性问题
如图,将$\triangle ABC$沿BC方向平移得到$\triangle DEF$,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是$ AB = AD $.(写出一个即可)

答案： $ AB = AD $ (答案不唯一)

3. 新考向 传统文化 “福”字象征着中华民族的历史文化与精神.图1是小红家大门上的“福”字,图2是抽离出来的菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,$∠ABC= 80^{\circ }$,E是线段AO上一点,且$BC= CE$,则$∠OBE$的度数是______25°.

答案： $ 25^{\circ} $

4. (2024·青岛)如图,在菱形ABCD中,$BC= 10$,其面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作$AE⊥BC$,交边BC于点E,连接EO,则$EO=$$\sqrt{10}$.

答案： $ \sqrt{10} $

5. 依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是(A)

答案： A

6. (2024·东营)如图,四边形ABCD是矩形,直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O,下列条件中,不能证明$\triangle BOF\cong \triangle DOE$的是(D)

A. O为矩形ABCD两条对角线的交点
B. $EO= FO$
C. $AE= CF$
D. $EF⊥BD$

答案： D

7. (2023·河南)在矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且$AN= AB= 1$.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为2 或 $ 1 + \sqrt{2} $.

答案： 2 或 $ 1 + \sqrt{2} $

8. (2024·兰州)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D是BC的中点,$CE// AD,AE⊥AD,EF⊥AC$.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若$BC= 4,CE= 3$,求EF的长.

(1) 证明: $ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 的中点, $ \therefore AD \perp BC $, 即 $ \angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ} $. $ \because CE // AD $, $ \therefore \angle ECD = \angle ADB = 90^{\circ} $. $ \because AE \perp AD $, $ \therefore \angle EAD = 90^{\circ} $. $ \therefore \angle ADC = \angle ECD = \angle EAD = 90^{\circ} $. $ \therefore $ 四边形 $ ADCE $ 是矩形. (2) $ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 的中点, $ BC = 4 $, $ \therefore BD = CD = \frac{1}{2}BC = 2 $. 由 (1) 可知, 四边形 $ ADCE $ 是矩形, $ \therefore AE = CD = 2 $, $ \angle AEC = 90^{\circ} $, 在 $ Rt \triangle AEC $ 中, $ AE = 2 $, $ CE = 3 $, 由勾股定理, 得 $ AC = \sqrt{AE^{2} + CE^{2}} = \sqrt{13} $, $ \because EF \perp AC $, 由三角形的面积公式, 得 $ S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2}AC \cdot EF = \frac{1}{2}AE \cdot CE $, $ \therefore EF = \frac{AE \cdot CE}{AC} = \frac{2 × 3}{\sqrt{13}} = $$\frac{6\sqrt{13}}{13}$.

答案： 解:
(1) 证明: $ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 的中点, $ \therefore AD \perp BC $, 即 $ \angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ} $. $ \because CE // AD $, $ \therefore \angle ECD = \angle ADB = 90^{\circ} $. $ \because AE \perp AD $, $ \therefore \angle EAD = 90^{\circ} $. $ \therefore \angle ADC = \angle ECD = \angle EAD = 90^{\circ} $. $ \therefore $ 四边形 $ ADCE $ 是矩形.
(2) $ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 的中点, $ BC = 4 $, $ \therefore BD = CD = \frac{1}{2}BC = 2 $. 由
(1) 可知, 四边形 $ ADCE $ 是矩形, $ \therefore AE = CD = 2 $, $ \angle AEC = 90^{\circ} $, 在 $ Rt \triangle AEC $ 中, $ AE = 2 $, $ CE = 3 $, 由勾股定理, 得 $ AC = \sqrt{AE^{2} + CE^{2}} = \sqrt{13} $, $ \because EF \perp AC $, 由三角形的面积公式, 得 $ S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2}AC \cdot EF = \frac{1}{2}AE \cdot CE $, $ \therefore EF = \frac{AE \cdot CE}{AC} = \frac{2 \times 3}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13} $.

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 4$,CD是$\triangle ABC$的中线,E是CD的中点,连接AE,BE.若$AE⊥BE$,垂足为E,则AC的长为$2\sqrt{3}$.

答案： $ 2\sqrt{3} $