《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

6. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的任意一点,连接BE,过点E作BE的垂线交BC的延长线于点F,交边CD于点P,则图中共有______对相似三角形(A)

A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： A

7. 如图,四边形ABCD、四边形CDEF和四边形EFGH都是正方形,则△ACF∽△GCA,∠1+∠2=45°.

答案： $ \triangle GCA $ 45

8. (教材P102习题T3变式)特例感知
(1)如图1,点C,D分别是线段AB的三等分点,以CD为边作等边三角形PCD,连接AP,BP,则∠APB的度数是120°;写出图中一个与∠APC相等的角:∠A(答案不唯一).
类比探究
(2)如图2,在△APB中,∠APB= 120°,点C,D在AB边上,连接PC,PD.若△PCD是等边三角形,请探究线段AC,CD,BD之间的数量关系,并说明理由.

解：(2) $ CD^{2} = AC \cdot BD $。理由：$\because \triangle PCD$ 是等边三角形，$\therefore \angle PCD = \angle PDC = 60^{\circ}$，$PC = PD$。$\therefore \angle DPB + \angle B = 60^{\circ}$，$\angle ACP = \angle PDB = 120^{\circ}$。$\because \angle APB = 120^{\circ}$，$\therefore \angle A + \angle B = 60^{\circ}$。$\therefore \angle A = \angle DPB$。$\therefore \triangle ACP \backsim \triangle PDB$。$\therefore \frac{AC}{DB} = \frac{CP}{PD}$。$\because PC = PD = CD$，$\therefore CD^{2} = AC \cdot BD$。

答案： 解：
(1) $ 120^{\circ} $ $ \angle A $（答案不唯一）
(2) $ CD^{2} = AC \cdot BD $。理由：$\because \triangle PCD$ 是等边三角形，$\therefore \angle PCD = \angle PDC = 60^{\circ}$，$PC = PD$。$\therefore \angle DPB + \angle B = 60^{\circ}$，$\angle ACP = \angle PDB = 120^{\circ}$。$\because \angle APB = 120^{\circ}$，$\therefore \angle A + \angle B = 60^{\circ}$。$\therefore \angle A = \angle DPB$。$\therefore \triangle ACP \backsim \triangle PDB$。$\therefore \frac{AC}{DB} = \frac{CP}{PD}$。$\because PC = PD = CD$，$\therefore CD^{2} = AC \cdot BD$。

9. (教材P102习题T4变式)如图,已知直线l的函数表达式为y= -4/3x+8,且l与x轴、y轴分别交于A,B两点,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点P,Q移动的时间为t秒.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)当t为何值时,以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?
(3)当△APQ的面积是△ABO面积的1/5时,t的值为______2 或 3.

答案： 解：
(1) 对于 $ y = -\frac{4}{3}x + 8 $，令 $ y = 0 $，则 $ -\frac{4}{3}x + 8 = 0 $，解得 $ x = 6 $；令 $ x = 0 $，则 $ y = 8 $。$\therefore A$，$B$ 两点的坐标分别为 $ (6, 0) $，$ (0, 8) $。
(2) 在 $ \text{Rt} \triangle AOB $ 中，$ BO = 8 $，$ AO = 6 $，根据勾股定理，得 $ AB = \sqrt{BO^{2} + AO^{2}} = 10 $。由题意可知，$ AP = t $，$ BQ = 2t $，$ AQ = 10 - 2t $。当 $ \triangle APQ \backsim \triangle AOB $ 时，$ \frac{AP}{AO} = \frac{AQ}{AB} $，$\therefore \frac{t}{6} = \frac{10 - 2t}{10}$，解得 $ t = \frac{30}{11} $；当 $ \triangle APQ \backsim \triangle ABO $ 时，$ \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AO} $，$\therefore \frac{t}{10} = \frac{10 - 2t}{6}$，解得 $ t = \frac{50}{13} $。综上所述，当 $ t = \frac{30}{11} $ 或 $ \frac{50}{13} $ 时，以 $ A $，$ P $，$ Q $ 为顶点的三角形与 $ \triangle AOB $ 相似。
(3) 2 或 3