《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 下列长度的各组线段中,是成比例线段的是(C)
A. $\sqrt {2},3,2,\sqrt {3}$
B. 4,6,5,10
C. $1,2,\sqrt {2},2\sqrt {2}$
D. 2,3,4,1

答案： C

2. 已知$\frac {a}{b}= \frac {4}{3}$,则$\frac {b}{b-2a}$的值为$-\frac{3}{5}$.

答案： $-\frac{3}{5}$

3. 如图,这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法.若图中的虚线相互平行,则点P表示的数是(D)

A. 1
B. $\sqrt {2}$
C. $\frac {10}{3}$
D. 5

答案： D

4. (2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为(D)

A. 甲和乙
B. 乙和丁
C. 甲和丙
D. 甲和丁

答案： D

5. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中,$AD= BC$,且C,D两点都是AB的黄金分割点.若$CD= 1$,则AB的长是$2+\sqrt{5}$.(结果保留根号)

答案： $2+\sqrt{5}$

6. 已知$△ABC\backsim △DEF$,且$AB= 3,DE= 6$.若$△ABC$的周长为20,则$△DEF$的周长为(C)
A. 5
B. 10
C. 40
D. 80

答案： C

7. 如图,在$△ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,则在下列四个条件中:①$∠AED= ∠B$;②$DE// BC$;③$\frac {AD}{AC}= \frac {AE}{AB}$;④$AD\cdot BC= DE\cdot AC$,能满足$△ADE\backsim △ACB$的条件有(B)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

8. (2024·乐山)如图,在梯形ABCD中,$AD// BC$,对角线AC和BD交于点O.若$\frac {S_{△ABD}}{S_{△BCD}}= \frac {1}{3}$,则$\frac {S_{△AOD}}{S_{△BOC}}=$$\frac{1}{9}$.

答案： $\frac{1}{9}$

9. (2024·重庆)如图,在$△ABC$中,延长AC至点D,使$CD= CA$,过点D作$DE// CB$,且$DE= DC$,连接AE交BC于点F.若$∠CAB= ∠CFA,CF= 1$,则$BF= $3.

答案： 3

10. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线$y= 2x+4$与x轴、y轴相交于A,B两点,且点C的坐标为$(6,4)$,连接AC,与y轴相交于点D,点E在x轴上.若$△ABD和△ACE$相似,则点E的坐标为$(4,0)$或$(\frac{34}{3},0)$.

答案： $(4,0)$或$(\frac{34}{3},0)$

11. (2024·德阳)如图,在菱形ABCD中,$∠ABC= 60^{\circ }$,对角线AC与BD相交于点O,F为BC的中点,连接AF与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G.求证:
(1)$△BEF\backsim △BCO$.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ $AB = BC$, $AC \perp BD$. 又 ∵ $\angle ABC = 60^{\circ}$, ∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形. ∴ $AB = AC$. ∵ F 为 BC 的中点, ∴ $AF \perp BC$. ∴ $\angle BOC = \angle BFE = 90^{\circ}$. 又 ∵ $\angle EBF = \angle CBO$, ∴ $\triangle BEF \backsim \triangle BCO$.
(2)$△BEG\cong △AEG$.
证明: ∵ $BO \perp AC$, $AF \perp BC$, ∴ $CG \perp AB$. ∴ $\angle BGE = \angle AGE$. 又 ∵ $AC = BC$, ∴ $BG = AG$. 在 $\triangle BEG$ 和 $\triangle AEG$ 中, $\left\{\begin{array}{l} BG = AG, \\ \angle BGE = \angle AGE, \\ GE = GE, \end{array}\right.$ ∴ $\triangle BEG \cong \triangle AEG$SAS.

答案： 证明:
(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AB = BC$, $AC \perp BD$. 又
∵ $\angle ABC = 60^{\circ}$,
∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形.
∴ $AB = AC$.
∵ F 为 BC 的中点,
∴ $AF \perp BC$.
∴ $\angle BOC = \angle BFE = 90^{\circ}$. 又
∵ $\angle EBF = \angle CBO$,
∴ $\triangle BEF \backsim \triangle BCO$.
(2)
∵ $BO \perp AC$, $AF \perp BC$,
∴ $CG \perp AB$.
∴ $\angle BGE = \angle AGE$. 又
∵ $AC = BC$,
∴ $BG = AG$. 在 $\triangle BEG$ 和 $\triangle AEG$ 中, $\left\{\begin{array}{l} BG = AG, \\ \angle BGE = \angle AGE, \\ GE = GE, \end{array}\right.$
∴ $\triangle BEG \cong \triangle AEG(SAS)$.