《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

8. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$的两个根,则这个三角形的周长为 (C)
A. 17 或 13
B. 13 或 21
C. 17
D. 13

答案： C

9. 若关于$x的一元二次方程(2k - 1)x^{2} + x - 4k^{2} = 0$的一个根为 1,则$k$的值为0.

答案： 0

10. 新考向 新定义问题 对于实数$a$,$b$,定义运算“◎”如下：$a◎b = (a + b)^{2} - (a - b)^{2}$. 若$(m + 2)◎(m - 3) = 24$,则$m = $-3 或 4.

答案： -3 或 4

11. 方程$x^{2} = |x|$的根是$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=1 $，$ x_{3}=-1 $.

答案： $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=1 $，$ x_{3}=-1 $

12. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2} - 4 = 3(x - 2)$.
解：$(x + 2)(x - 2)-3(x - 2)=0$，$(x + 2 - 3)(x - 2)=0$，即$(x - 1)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$.
(2)$(3x + 2)^{2} - 4x^{2} = 0$.
解：$(3x + 2 + 2x)(3x + 2 - 2x)=0$，$(5x + 2)(x + 2)=0$，解得$x_{1}=-\frac{2}{5}$，$x_{2}=-2$.

答案： 解：
(1) $ (x + 2)(x - 2)-3(x - 2)=0 $，$ (x + 2 - 3)(x - 2)=0 $，即 $ (x - 1)(x - 2)=0 $，解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=2 $。
(2) $ (3x + 2 + 2x)(3x + 2 - 2x)=0 $，$ (5x + 2)(x + 2)=0 $，解得 $ x_{1}=-\frac{2}{5} $，$ x_{2}=-2 $。

13. 如图,把小圆形场地的半径增加 6 m 得到大圆形场地,大圆形场地的面积是原来小圆形场地面积的 2 倍. 求小圆形场地的半径.

解：设小圆形场地的半径为 r m，则大圆形场地的半径为 (r + 6) m。由题意，得 π(r + 6)²=2πr²，解得 r₁=6 + 6√2，r₂=6 - 6√2 ＜ 0（舍去）。答：小圆形场地的半径为 (6 + 6√2) m。

答案： 解：设小圆形场地的半径为 $ r $ m，则大圆形场地的半径为 $ (r + 6) $ m。由题意，得 $ \pi(r + 6)^{2}=2\pi r^{2} $，解得 $ r_{1}=6 + 6\sqrt{2} $，$ r_{2}=6 - 6\sqrt{2} ＜ 0 $（舍去）。答：小圆形场地的半径为 $ (6 + 6\sqrt{2}) $ m。

【例】(1)将$x^{2} - 2x - 3$分解因式时,可依据口诀“首尾两项要分解,交叉之积的和在中央”,如图：

所以$x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”,用式子表示为$x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$.
(2)根据乘法原理：若$ab = 0$,则$a = 0或b = 0$.
依照上面的方法和原理,解下列方程：
(1)$x^{2} + 4x + 3 = 0$. 解：(x + 1)(x + 3)=0，x + 1 = 0 或 x + 3 = 0，∴x₁=-1，x₂=-3(2)$x^{2} - 7x + 10 = 0$. 解：(x - 5)(x - 2)=0，x - 5 = 0 或 x - 2 = 0，∴x₁=5，x₂=2(3)$x^{2} - 4x - 12 = 0$. 解：(x - 6)(x + 2)=0，x - 6 = 0 或 x + 2 = 0，∴x₁=6，x₂=-2(4)$2x^{2} + x - 6 = 0$. 解：(2x - 3)(x + 2)=0，2x - 3 = 0 或 x + 2 = 0，∴x₁=3/2，x₂=-2

答案： 解：
(1) $ (x + 1)(x + 3)=0 $，$ x + 1 = 0 $ 或 $ x + 3 = 0 $，$ \therefore x_{1}=-1 $，$ x_{2}=-3 $。
(2) $ (x - 5)(x - 2)=0 $，$ x - 5 = 0 $ 或 $ x - 2 = 0 $，$ \therefore x_{1}=5 $，$ x_{2}=2 $。
(2) $ (x - 6)(x + 2)=0 $，$ x - 6 = 0 $ 或 $ x + 2 = 0 $，$ \therefore x_{1}=6 $，$ x_{2}=-2 $。
(4) $ (2x - 3)(x + 2)=0 $，$ 2x - 3 = 0 $ 或 $ x + 2 = 0 $，$ \therefore x_{1}=\frac{3}{2} $，$ x_{2}=-2 $。