《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC,BC,且AC＞BC,则下列说法错误的是 (C)
A. 若$\frac {AC}{AB}= \frac {BC}{AC}$,则线段AB被点C黄金分割
B. 若$AC^{2}= AB\cdot BC$,则线段AB被点C黄金分割
C. 若线段AB被点C黄金分割,则BC与AB的比叫做黄金比
D. 0.618是黄金比的近似值

答案： C

2. 已知C是线段AB的黄金分割点,AC＞BC.若AB= 2,则AC的长为$\sqrt{5}-1$.(结果保留根号)

答案： $\sqrt{5}-1$

3. 如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2m,则a约为(结果保留两位小数) (A)

A. 1.24m
B. 1.38m
C. 1.42m
D. 1.62m

答案： A

4. 新考向 跨学科(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB//NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac {BC}{AB}= \frac {\sqrt {5}-1}{2}$.若NP= 2cm,则BC的长为$(\sqrt {5}-1)$cm(结果保留根号).

答案： $(\sqrt {5}-1)$

5. 已知线段MN的长为1cm,P是MN的黄金分割点,则MP的长是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}cm$ 或 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}cm$.(结果保留根号)

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}cm$ 或 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}cm$

6. (2023·绵阳)黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱.摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法,其原理是:如图,在正方形ABCD的底边BC上取中点E,以点E为圆心,线段DE为半径作圆,其与底边BC的延长线相交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形(宽与长的比等于$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形).若CF= 4a,则AB= (D)

A. $(\sqrt {5}-1)a$
B. $(2\sqrt {5}-2)a$
C. $(\sqrt {5}+1)a$
D. $(2\sqrt {5}+2)a$

答案： D

7. (2023·达州)如图,乐器上的一根弦AB= 80cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为$(80\sqrt{5}-160)$cm.(结果保留根号)

答案： $(80\sqrt{5}-160)$

8. 如图,已知△ABC,用尺规作图法按如下步骤作图:①以点C为圆心,任意长为半径画弧,分别交BC,AC于点M,N;②以点A为圆心,CM的长为半径画弧,交AB于点P;③以点P为圆心,MN的长为半径画弧,两弧相交于点Q;④连接AQ并延长,与CB的延长线交于点D.若AD= BC,请解答下列问题:(1)求证:B为线段CD的黄金分割点.证明: 由作图步骤可得, ∠BAD=∠C. ∵∠D=∠D, ∴△ABD∽△CAD. ∴AD/CD=BD/AD. ∵AD=BC, ∴BC/CD=BD/BC. ∴B为线段CD的黄金分割点.(2)若AD= 20cm,求CD的长.(结果保留根号)解:由(1)可知,B为线段CD的黄金分割点,∴BC/CD=(√5-1)/2.∵BC=AD=20cm,∴CD=(10√5+10)cm.

答案： 解:
(1) 证明: 由作图步骤可得, $∠BAD=∠C$. $\because ∠D=∠D$, $\therefore$
$△ABD \backsim △CAD$. $\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$. $\because AD=BC$, $\therefore \frac{BC}{CD}=\frac{BD}{BC}$. $\therefore B$ 为线段 $CD$ 的黄金分割点.
(2) 由
(1) 可知, $B$ 为线段 $CD$ 的黄金分割点, $\therefore \frac{BC}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. $\because BC=AD=20cm$, $\therefore CD=\frac{2}{\sqrt{5}-1}BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×20=(10\sqrt{5}+10)cm$.