《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 若一元二次方程$x^{2}-4x+3= 0的两个根是x_{1},x_{2}$,则$x_{1}x_{2}$的值是(A)
A. 3
B. -3
C. -4
D. 4

答案： A

2. 已知一元二次方程$-x^{2}+3x-a= 0$有两个不同的实数根$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}$的值为3.

答案： 3

3. 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)$x^{2}+4x= 0$.
解: $a=1,b=4,c=0,Δ=b^{2}-4ac=4^{2}-4×1×0=16＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$-4,$x_{1}x_{2}=$0.
(2)$2x^{2}-3x= 5$.
解: 原方程可化为$2x^{2}-3x-5=0,Δ=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-5)=49＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$$\frac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{5}{2}$.
(3)$2x^{2}+3= x(7x+1)$.
解: 原方程可化为$5x^{2}+x-3=0,Δ=b^{2}-4ac=1^{2}-4×5×(-3)=61＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{1}{5}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{3}{5}$.

答案： 解:
(1)$a=1,b=4,c=0,Δ=b^{2}-4ac=4^{2}-4×1×0=16＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=-4,x_{1}x_{2}=0$.
(2)原方程可化为$2x^{2}-3x-5=0,Δ=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-5)=49＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=\frac {3}{2},x_{1}x_{2}=-\frac {5}{2}$.
(3)原方程可化为$5x^{2}+x-3=0,Δ=b^{2}-4ac=1^{2}-4×5×(-3)=61＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=-\frac {1}{5},x_{1}x_{2}=-\frac {3}{5}$.

4. (教材P50随堂练习T2变式)小明和小华分别求出了方程$4x^{2}+4x-1= 0$的根.
小明：$x_{1}= x_{2}= -\frac {1}{2}$；
小华：$x_{1}= 1,x_{2}= -\frac {1}{4}$.
他们的答案正确吗？说说你的判断方法.
解: 他们的答案不正确. $\because$ 小明求出的两根之积$x_{1}x_{2}=\frac {1}{4}≠-\frac {1}{4}$, 小华求出的两根之和$x_{1}+x_{2}=\frac {3}{4}≠-1,\therefore$ 他们的答案不正确.

答案： 解: 他们的答案不正确. $\because$ 小明求出的两根之积$x_{1}x_{2}=\frac {1}{4}≠-\frac {1}{4}$, 小华求出的两根之和$x_{1}+x_{2}=\frac {3}{4}≠-1,\therefore$ 他们的答案不正确.

5. (2023·随州)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+1= 0的两个实数根分别为x_{1}和x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$的值为2.

答案： 2

6. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-5x-2= 0$的两根,不解方程求下列各式的值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.
(2)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$.

答案： 解: 由题可知$x_{1}+x_{2}=5,x_{1}x_{2}=-2$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5^{2}-2×(-2)=29$.
(2)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {5}{-2}=-\frac {5}{2}$.

7. (教材P50随堂练习T3变式)(2024·巴中)已知方程$x^{2}-2x+k= 0$的一个根为-2,则方程的另一个根为4.

答案： 4

8. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}+2x-k-1= 0$的两根,且$x_{1}x_{2}= -3$,则k的值为(B)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B