《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版》

1. 新考向 开放性问题 (2024·滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是∠ADE = ∠C.(写出一种情况即可)

答案： $ \angle ADE = \angle C $（答案不唯一）

2. 下列选项中的两个三角形不相似的是(B)
A. 一个三角形的两个角分别是40°,80°;另一个三角形的两个角分别是60°,80°
B. 一个三角形的三边长分别是4 cm,6 cm,8 cm;另一个三角形的三边长分别是12 cm,18 cm,21 cm
C. 一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm,夹角是40°;另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm,夹角是40°
D. 各有一个角是120°的两个等腰三角形

答案： B

3. 如图,P为△ABC中线AD上的一点,且$BD^2= PD·AD.$求证:△ADC∽△CDP.
证明：$\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$\therefore$ $BD = CD$。$\because BD^{2} = PD \cdot AD$，$\therefore$ $CD^{2} = PD \cdot AD$，$\therefore$ $\frac{CD}{PD} = \frac{AD}{CD}$。$\because$ $\angle CDA = \angle PDC$，$\therefore \triangle ADC \backsim \triangle CDP$。

答案： 证明：$\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$\therefore BD = CD$。$\because BD^{2} = PD \cdot AD$，$\therefore CD^{2} = PD \cdot AD$，$\therefore \frac{CD}{PD} = \frac{AD}{CD}$。$\because \angle CDA = \angle PDC$，$\therefore \triangle ADC \backsim \triangle CDP$。

4. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD= ∠B= 90°.
(1)求证:△ACD∽△ABC.
(2)若AB= 3,AD= 4,求AC的长.
(1) 证明：$\because AC$ 平分 $\angle BAD$，$\therefore \angle CAD = \angle BAC$。$\because \angle ACD = \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ACD \backsim \triangle ABC$。
(2) 由 (1) 知，$\triangle ACD \backsim \triangle ABC$，$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，即 $\frac{4}{AC} = \frac{AC}{3}$。$\therefore AC^{2} = 12$。$\therefore AC = $$2\sqrt{3}$（负值舍去）。

答案： 解：
(1) 证明：$\because AC$ 平分 $\angle BAD$，$\therefore \angle CAD = \angle BAC$。$\because \angle ACD = \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ACD \backsim \triangle ABC$。
(2) 由
(1) 知，$\triangle ACD \backsim \triangle ABC$，$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，即 $\frac{4}{AC} = \frac{AC}{3}$。$\therefore AC^{2} = 12$。$\therefore AC = 2\sqrt{3}$（负值舍去）。

5. (2024·上海节选)如图所示,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.求证$:AD^2= DE·DC.$
证明：∵ 四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∠ADE=90°，AB=DC。∴∠ABD+∠ADB=90°。∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB=90°。∴∠ABD=∠DAE。又∵∠BAD=∠ADE=90°，∴△ADE∽△BAD。∴$\frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$。∴AD²=DE·BA。∵AB=DC，∴AD²=DE·DC。

答案： 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle ADE = 90^{\circ}$，$AB = DC$。$\therefore \angle ABD + \angle ADB = 90^{\circ}$。$\because AE \perp BD$，$\therefore \angle DAE + \angle ADB = 90^{\circ}$。$\therefore \angle ABD = \angle DAE$。又 $\because \angle BAD = \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle BAD$。$\therefore \frac{AD}{BA} = \frac{DE}{AD}$。$\therefore AD^{2} = DE \cdot BA$。$\because AB = DC$，$\therefore AD^{2} = DE \cdot DC$。