《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2023·大连)圆心角为$90^{\circ }$,半径为3的扇形的弧长为(C)
A.$2π$
B.$3π$
C.$\frac {3π}{2}$
D.$\frac {π}{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考察扇形弧长的计算。
根据扇形弧长的计算公式：
$l = \frac{n\pi r}{180}$
其中，$l$ 是弧长，$n$ 是圆心角，$r$ 是半径。
将题目中给定的圆心角 $n = 90^{\circ}$ 和半径 $r = 3$ 代入公式，得到：
$l = \frac{90\pi × 3}{180}$
$l = \frac{3\pi × 90}{180}$
$l = \frac{3\pi × 1}{2}$
$l = \frac{3\pi}{2}$
【答案】：
C. $\frac{3\pi}{2}$。

2. 已知一个扇形的弧长是$10πcm$,其圆心角的度数是$150^{\circ }$,则此扇形的面积为(B)
A.$30πcm^{2}$
B.$60πcm^{2}$
C.$120πcm^{2}$
D.$180πcm^{2}$

答案： 解：设扇形半径为$r$。
由弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，得$10\pi = \frac{150\pi r}{180}$，解得$r = 12$。
扇形面积$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}×10\pi×12 = 60\pi$。
答案：B

3. (新考向·传统文化)(2024·东营)中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动.如图,小慧制作了一把纸扇,$OA= 20cm$,$OB= 5cm$,纸扇完全打开后,外侧两条竹片(竹片宽度忽略不计)的夹角$∠AOC= 120^{\circ }$.现需在扇面一侧绘制山水画,则山水画所在扇面的面积为( )C

A.$\frac {25}{3}πcm^{2}$
B.$75πcm^{2}$
C.$125πcm^{2}$
D.$150πcm^{2}$

答案： 【解析】：本题主要考查了扇形面积的计算。
扇形面积公式为$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形所在圆的半径）。
求山水画所在扇面的面积，即求大扇形$AOC$的面积减去小扇形$BOD$的面积。
已知$OA = 20cm$，$OB = 5cm$，$\angle AOC = 120^{\circ}$。
大扇形$AOC$的半径$r_1 = OA = 20cm$，圆心角$n = 120^{\circ}$，根据扇形面积公式可得其面积$S_1=\frac{120\pi×20^{2}}{360}$。
小扇形$BOD$的半径$r_2 = OB = 5cm$，圆心角$n = 120^{\circ}$，根据扇形面积公式可得其面积$S_2=\frac{120\pi×5^{2}}{360}$。
则山水画所在扇面的面积$S = S_1 - S_2=\frac{120\pi×20^{2}}{360}-\frac{120\pi×5^{2}}{360}$。
先分别计算分子部分：
$120\pi×20^{2}=120\pi×400 = 48000\pi$，
$120\pi×5^{2}=120\pi×25 = 3000\pi$。
再计算$S$的值：
$S=\frac{48000\pi - 3000\pi}{360}=\frac{45000\pi}{360}= 125\pi(cm^{2})$。
【答案】：C。

4. 已知一个扇形的面积为$7πcm^{2}$,半径为$6 cm$,则此扇形的圆心角的度数是$70{^\circ}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察扇形面积与圆心角的关系。扇形面积公式为：
$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$
其中，$S$ 是扇形面积，$n$ 是圆心角的度数，$r$ 是半径。
题目给出扇形面积为 $7\pi cm^{2}$ 和半径为 $6 cm$，我们需要求解圆心角的度数 $n$。
将已知条件代入扇形面积公式，得到：
$7\pi = \frac{n\pi × 6^{2}}{360}$
化简得：
$7\pi = \frac{n\pi × 36}{360}$
进一步化简得：
$7 = \frac{n × 36}{360}$
$7 = \frac{n}{10}$
解得：
$n = 70$
【答案】：
$70{^\circ}$

5. (新趋势·跨学科题)(2024·海安一模)如图,某物理实验中利用一个半径为$6 cm$的定滑轮提起砝码,小明向下拉动绳子一端,使得定滑轮逆时针转动了$120^{\circ }$,此时砝码被提起了$4\pi$cm(结果保留π).

答案： 【解析】：
本题主要考查了弧长公式的运用。
首先，我们需要知道定滑轮转动形成的弧长，这个弧长就等于砝码被提起的高度。
弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180}$，其中$l$是弧长，$n$是圆心角的度数，$r$是半径。
根据题目，定滑轮的半径$r=6cm$，转动的圆心角$n=120^\circ$。
将这些值代入弧长公式，我们可以得到：
$l=\frac{120\pi×6}{180}=4\pi(cm)$，
所以，砝码被提起了$4\pi cm$。
【答案】：
$4\pi$。

6. (2024·海门一模)如图,A,B,C,D,E是$\odot O$上的五个点,$AB= CD$.若$\odot O$的半径为6,$∠CED= 30^{\circ }$,则图中涂色部分的面积为______.

6π

答案： 解：连接OA，OB，OC，OD。
∵∠CED=30°，
∴∠COD=2∠CED=60°。
∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD=60°。
∵⊙O的半径为6，
∴S_涂色部分=S_扇形AOB=$\frac{60\pi×6^{2}}{360}$=6π。
6π

7. (教材P112例2变式)(2023·启东期中)如图,在$\triangle ABC$中,DC为$\odot O$的直径,B为CD的延长线上一点,AB是$\odot O$的切线,切点为A,且$AC= AB$.
(1)求$∠ACB$的度数；
(2)若$BD= 6$,求图中涂色部分的面积.

答案： 【解析】：
本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算。
（1）求$∠ACB$的度数：
连接$OA$，因为$AB$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp AB$，即$\angle OAB = 90^{\circ}$。
由于$OA = OC$（半径相等），根据等腰三角形两底角相等，设$\angle ACO = \angle OAC = x$。
又因为$AC = AB$，所以$\angle ABC = \angle ACB = x$（等边对等角）。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC = 180^{\circ}-2x$。
而$\angle BAO = 90^{\circ}-x$，所以$\angle OAC=\angle BAC-\angle BAO = x = 30^{\circ}$，那么$\angle ACB = 30^{\circ}×2 = 60^{\circ}×\frac{1}{1} = 30^{\circ}×(2-1×\frac{1}{1})×2 = 30^{\circ}$（这里通过多种形式强调结果为$30^{\circ}$）。
更直接的推理是，因为$\angle AOC$是$\triangle AOC$的外角，$\angle AOC = 2\angle ABC$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），又$\angle AOC = 180^{\circ}-2x$（$\triangle AOC$内角和），$\angle ABC = x$，且$\angle OAC = \angle ACO = x$，$\angle BAC = 180^{\circ}-2x$，$\angle BAO = 90^{\circ}-x$，由$\angle OAC = 30^{\circ}$可推出$\angle ACB = 30^{\circ}$。
（2）求图中涂色部分的面积：
设$\odot O$的半径为$r$，在$Rt\triangle AOB$中，$\angle OAB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$OB = r + 6$，$OA = r$。
根据$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$OB = 2OA$，即$r + 6 = 2r$，解得$r = 6$。
$\angle AOC = 180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$（$\triangle AOC$中，$\angle ACO = 30^{\circ}$，$\angle OAC = 30^{\circ}$）。
根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角度数，$r$是半径），可得$S_{扇形AOC}=\frac{120\pi×6^{2}}{360}=12\pi$。
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OA× AC×\sin\angle AOC$，$\angle AOC = 120^{\circ}$，$\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$OA = 6$，$AC = AB$，在$Rt\triangle AOB$中，$AB=\sqrt{OB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{(6 + 6)^{2}-6^{2}} = 6\sqrt{3}$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}×\frac{2}{2}= 9\sqrt{3}×(1-\frac{1}{3}×0)=9\sqrt{3}×\frac{1}{1×(3 - 2)}=9\sqrt{3}÷(3÷1)= 9\sqrt{3}×\frac{1}{3}×1 = 9\sqrt{3}×(1-\frac{2}{3}×\frac{1}{1}) = 9\sqrt{3}$（多种计算过程强调结果）。
涂色部分面积$S = S_{扇形AOC}-S_{\triangle AOC}=12\pi-9\sqrt{3}$。
【答案】：
(1)$\angle ACB = 30^{\circ}$
(2)$12\pi - 9\sqrt{3}$