《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材 P16 例 4 变式)(2023·天津)若 $ x_1,x_2 $ 是方程 $ x^2 - 6x - 7 = 0 $ 的两个根,则下列结论正确的是 (A)
A.$ x_1 + x_2 = 6 $
B.$ x_1 + x_2 = -6 $
C.$ x_1x_2 = \frac{7}{6} $
D.$ x_1x_2 = 7 $

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$，其中 $a = 1, b = -6, c = -7$。
根据根与系数的关系，我们可以得到：
$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$，
$x_1 × x_2 = \frac{-7}{1} = -7$，
对比选项，我们发现只有选项A符合上述计算结果。
【答案】：
A

2. 设 $ x_1,x_2 $ 是方程 $ x^2 + 4x - 3 = 0 $ 的两个根,则 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $ 的值为 (A)
A.$ \frac{4}{3} $
B.$ -\frac{4}{3} $
C.3
D.4

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^2 + 4x - 3 = 0$，有 $a = 1, b = 4, c = -3$。
所以，
$x_1 + x_2 = -\frac{4}{1} = -4$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{1} = -3$，
接下来，要求 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$，
利用公式：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$，
代入 $x_1 + x_2 = -4$ 和 $x_1 \cdot x_2 = -3$，得到：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$。
【答案】：
A. $\frac{4}{3}$。

3. 若 $ x = -1 $ 是方程 $ x^2 + x + m = 0 $ 的一个根,则此方程的另一个根是 (B)
A.$ x = -1 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = 1 $
D.$ x = 2 $

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若$x_1$和$x_2$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程$x^2 + x + m = 0$，其中$a = 1, b = 1$。
已知$x = -1$是方程的一个根，设另一个根为$x_2$，则有：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$ （根据根与系数的关系），
但这个等式直接计算会得出$x_2 = 0$，这是不正确的，因为我们用了已知的$x = -1$去计算，实际上我们应该用根与系数的关系来找出$x_2$。
正确的应用根与系数的关系是：
$-1 \cdot x_2 = m$ （但这部分信息题目并未直接给出，需要通过选项验证或进一步计算得出），
$-1 + x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = 0$ （这是通过根的和计算得出的，但在此题中我们主要通过选项验证）。
然而，我们还可以通过将$x = -1$代入原方程求得$m$的值，再用求得的$m$值去验证哪个选项是方程的另一个根。
将$x = -1$代入方程$x^2 + x + m = 0$，得到：
$1 - 1 + m = 0 \Rightarrow m = 0$，
所以方程变为$x^2 + x = 0$，
解这个方程得到$x(x + 1) = 0$，
解得$x = 0$或$x = -1$。
由于$x = -1$已经是已知的一个根，所以另一个根是$x = 0$。
但此处我们通过选项验证，可以直接知道答案是B，因为通过根与系数的关系或者代入法，我们都可以得出另一个根是0。
为了符合题目要求的解题步骤，我们应该通过根与系数的关系来“推导”出另一个根，即：
已知一个根为$-1$，且两根之和为$-1$（由$-\frac{b}{a}$得出），所以另一个根为$0$（因为$-1 + 0 = -1$）。
【答案】：
B. $x = 0$。

4. 已知 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^2 + 2x - 5 = 0 $ 的两个根,则 $ m^2 + mn + 2m $ 的值为 (A)
A.0
B.-10
C.3
D.10

答案： 解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的根，
∴$m^2 + 2m - 5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$。
∵m，n是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个根，
∴由根与系数的关系得：$mn = -5$。
∴$m^2 + mn + 2m = (m^2 + 2m) + mn = 5 + (-5) = 0$。
答案：A

5. (2023·海安期末)设 $ x_1,x_2 $ 是方程 $ x^2 + mx - 2 = 0 $ 的两个根,且 $ x_1 + x_2 = 2x_1x_2 $,则 $ m = $4.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的根与系数的关系。根据一元二次方程的根与系数的关系，有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
对于给定的方程 $x^2 + mx - 2 = 0$，其系数a=1, b=m, c=-2。
根据根与系数的关系，可以得到：
$x_1 + x_2 = -m$
$x_1x_2 = -2$
结合题目给出的条件 $x_1 + x_2 = 2x_1x_2$，可以得到方程：
$-m = 2 × (-2)$
解这个方程，可以得到m的值。
【答案】：
$m = 4$

6. 已知 $ x_1,x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 4x - 7 = 0 $ 的两个实数根,则 $ x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 $ 的值是2.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -7$
其中，a、b、c分别是一元二次方程$x^2 - 4x - 7 = 0$的系数，即$a=1, b=-4, c=-7$。
接下来，我们需要求$x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$的值。
观察该代数式，我们可以发现它可以写成$(x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2$的形式。
代入$x_1 + x_2 = 4$和$x_1 \cdot x_2 = -7$，我们得到：
$x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = 4^2 + 2 × (-7) = 16 - 14 = 2$
【答案】：
2

7. (2024·泸州)已知 $ x_1,x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 3x - 5 = 0 $ 的两个实数根,则 $ (x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 $ 的值为14.

答案： 解：对于一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$，
根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$。
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 + 3x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$代入上式，
得$3^2 - (-5) = 9 + 5 = 14$。
故答案为$14$。

8. (教材 P16 练习变式)已知 $ x_1,x_2 $ 是方程 $ 3x^2 - 2x - 7 = 0 $ 的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1) $ x_1 + x_2 + x_1x_2 $;
(2) $ x_1^2x_2 + x_1x_2^2 $;
(3) $ (x_1 - x_2)^2 $;
(4) $ (x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) $.

答案： 解：对于方程$3x^2 - 2x - 7 = 0$，$a = 3$，$b=-2$，$c=-7$。
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{7}{3}$。
(1) $x_1 + x_2 + x_1x_2=\frac{2}{3}+(-\frac{7}{3})=-\frac{5}{3}$
(2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2=x_1x_2(x_1 + x_2)=(-\frac{7}{3})×\frac{2}{3}=-\frac{14}{9}$
(3) $(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2=(\frac{2}{3})^2 - 4×(-\frac{7}{3})=\frac{4}{9}+\frac{28}{3}=\frac{88}{9}$
(4) $(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})=x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2 + \frac{1}{x_1x_2} + 2=(-\frac{7}{3})+\frac{1}{-\frac{7}{3}} + 2=-\frac{7}{3}-\frac{3}{7}+2=-\frac{22}{21}$