《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. (教材P50探究2变式)某商品现在的售价为每件35元,每天可卖出50件. 市场调查发现：如果调整价格,那么每降价1元,每天可多卖出2件. 每天的最大销售额是 (C)
A.2500元
B.2000元
C.1800元
D.2200元

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的应用。
设降价$x$元后，每天的销售额为$y$元。
原始售价为每件35元，每天可卖出50件，降价$x$元后，售价为$35-x$元，每天可多卖出$2x$件，即每天卖出$50+2x$件。
因此，销售额$y$可以表示为：
$y = (35 - x)(50 + 2x)$
展开得：
$y = 35 × 50 + 35 × 2x - x × 50 - 2x^2$
$y = 1750 + 70x - 50x - 2x^2$
$y = -2x^2 + 20x + 1750$
为了求$y$的最大值，我们可以将上式转化为顶点式。
通过配方，得到：
$y = -2(x^2 - 10x) + 1750$
$y = -2(x^2 - 10x + 25) + 1750 + 50$
$y = -2(x - 5)^2 + 1800$
由于二次项系数为负，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处，即$x=5$时，此时$y=1800$。
但考虑到我们的$x$代表降价金额，且每降价1元，销量增加2件，所以实际的销售策略中，降价金额应为整数。
然而，在这个特定问题中，由于我们只需要找到销售额的最大值，而不需要考虑具体的降价策略，因此可以直接得出当$x=5$时，$y$取得最大值1800元。
但这里需要注意，题目中的选项并没有直接给出1800元对应的降价金额，而是直接问了最大销售额。
因此，我们可以直接根据上面的计算结果，得出最大销售额为1800元对应的选项。
【答案】：
C. 1800元。

9. (易错题)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为$L_{1}= 5.06x-0.15x^{2}和L_{2}= 2x$,其中$x$为销售量(单位：辆). 若该公司在这两地共销售15辆该种品牌车,则能获得的最大利润为______万元.
45.6

答案： 解：设公司在甲地销售$x$辆，则在乙地销售$(15 - x)$辆，总利润为$L$万元。
$L = L_{1} + L_{2} = 5.06x - 0.15x^{2} + 2(15 - x)$
$= 5.06x - 0.15x^{2} + 30 - 2x$
$= -0.15x^{2} + 3.06x + 30$
$\because a = -0.15 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3.06}{2×(-0.15)} = 10.2$
$\because x$为整数，$\therefore x = 10$或$11$
当$x = 10$时，$L = -0.15×10^{2} + 3.06×10 + 30 = 45.6$
当$x = 11$时，$L = -0.15×11^{2} + 3.06×11 + 30 = 45.6$
$\therefore$最大利润为$45.6$万元。
$45.6$

10. 某种水果的进价为每千克40元,现在的售价为每千克60元,每星期可卖出40千克. 经市场调查,发现如下信息：
信息一：每千克水果的售价每降低1元,每星期可多卖出10千克；
信息二：由于货源紧缺,每星期最多能卖90千克.
设该种水果每千克的售价为$x$元,销售这种水果每星期可获得的利润为$y$元.
(1) 求$y与x$之间的函数解析式(要求写出自变量$x$的取值范围).
(2) 当该种水果每千克的售价定为多少元时,销售这种水果每星期可获得的利润最大? 最大利润是多少?

答案：
(1) 解：由题意得，售价为$x$元时，每千克降低$(60 - x)$元，每星期多卖$10(60 - x)$千克，销售量为$40 + 10(60 - x) = (640 - 10x)$千克。
利润$y=(x - 40)(640 - 10x)$，化简得$y=-10x^{2}+1040x - 25600$。
由信息二，销售量$640 - 10x\leq90$，解得$x\geq55$；又售价不低于进价，$x\geq40$，综上$55\leq x\leq60$。
(2) 解：$y=-10x^{2}+1040x - 25600$，对称轴为$x=-\frac{1040}{2×(-10)} = 52$。
$\because a=-10\lt0$，抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$增大而减小。
$\because55\leq x\leq60$，$\therefore$当$x=55$时，$y$最大。
$y_{最大}=-10×55^{2}+1040×55 - 25600 = 1350$。
答：售价定为55元时，最大利润1350元。

11. 某商场销售一种进价为每件30元的商品,当每件商品的售价为$x$元,且$x满足40\lt x\lt 80$时,其销售量$y$(单位：万件)与$x之间的函数解析式为y= -\frac{1}{10}x+9$,同时销售过程中的其他开支为50万元.
(1) 求该商场销售这种商品的净利润$z$(单位：万元)与$x$之间的函数解析式. 当每件商品的售价定为多少元时,净利润最大? 最大净利润是多少万元?
(2) 若要使净利润预期不低于17.5万元,试求出$x$的取值范围；若还需考虑使销售量尽可能大,则每件商品的售价应定为多少元?

答案： 【解析】：
本题主要考察销售利润问题的建模与求解。首先，需要根据题意建立净利润$z$与售价$x$之间的函数关系。然后，通过配方或顶点坐标求解二次函数的最大值。最后，根据净利润预期求解$x$的取值范围，并考虑销售量尽可能大的条件。
(1)单件利润为$x-30$元，销售量为$-\frac{1}{10}x+9$万件，所以总利润为：
$z=(x-30)(-\frac{1}{10}x+9)-50$
$=-\frac{1}{10}x^2+9x+3x-270-50$
$=-\frac{1}{10}x^2+12x-320$
为了求$z$的最大值，我们可以将上式转化为顶点式：
$z=-\frac{1}{10}(x-60)^2+40$
由于二次项系数为负，所以函数开口向下，顶点处取得最大值。当$x=60$时，$z$取得最大值40万元。
(2)要使净利润不低于17.5万元，即：
$-\frac{1}{10}x^2+12x-320 \geq 17.5$
整理得：
$x^2-120x+3375 \leq 0$
解此不等式，得到$x$的取值范围。
同时，由于销售量$y=-\frac{1}{10}x+9$随$x$的增大而减小，所以要使销售量尽可能大，售价$x$应取取值范围内的最小值。
【答案】：
(1)净利润$z$与售价$x$之间的函数解析式为$z=-\frac{1}{10}x^2+12x-320$；
当每件商品的售价定为60元时，净利润最大，最大净利润是40万元。
(2)解不等式$x^2-120x+3375 \leq 0$，
因式分解得$(x-45)(x-75)\leq 0$，
解得$45 \leq x \leq 75$。
由于销售量$y=-\frac{1}{10}x+9$随$x$的增大而减小，所以要使销售量尽可能大，售价$x$应取45元（在$45 \leq x \leq 75$范围内）。