《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. (教材 P22 习题 21.3 第 8 题变式)如图,在长为 50 m、宽为 38 m 的矩形地面的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.若要使草坪的面积为$1260m^{2}$,则道路的宽应为2m.

答案： 解：设道路的宽为$x$m。
草坪的长为$(50 - 2x)$m，宽为$(38 - 2x)$m。
根据题意，得$(50 - 2x)(38 - 2x) = 1260$。
展开并整理，得$x^2 - 44x + 140 = 0$。
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 42$（不合题意，舍去）。
答：道路的宽应为$2$m。

9. 将一根长为 56 cm 的铁丝剪成两段并把每段铁丝做成一个正方形,使这两个正方形的面积之和为$100cm^{2}$,则较小的一个正方形的边长为6cm.

答案： 【解析】：
本题考查几何图形面积问题。要找到较小正方形的边长，首先需要设定变量来表示两段铁丝的长度，然后根据正方形的性质（即面积等于边长的平方）和题目给出的条件（两正方形的面积之和为$100cm^2$）建立方程。
设其中一段铁丝的长度为$x$ cm，则另一段为$56-x$ cm。由于每段铁丝都被做成一个正方形，所以两个正方形的边长分别为$\frac{x}{4}$ cm和$\frac{56-x}{4}$ cm。
根据题目条件，可以列出方程：
$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{56-x}{4})^2 = 100$。
解这个方程，可以得到$x$的值，进而求得较小正方形的边长。
【答案】：
解：设其中一段铁丝的长度为$x$ cm，则另一段长度为$(56 - x)$ cm。
两个正方形的边长分别为$\frac{x}{4}$ cm 和 $\frac{56 - x}{4}$ cm。
根据题意，两个正方形的面积之和为$100 cm^2$，
所以方程为：$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{56 - x}{4})^2 = 100$，
展开并整理得：
$\frac{x^2}{16} + \frac{(56 - x)^2}{16} = 100$，
$\frac{x^2 + (56 - x)^2}{16} = 100$，
$x^2 + (56 - x)^2 = 1600$，
$x^2 + 3136 - 112x + x^2 = 1600$，
$2x^2 - 112x + 1536 = 0$，
$x^2 - 56x + 768 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，得到：
$(x - 24)(x - 32) = 0$，
$x = 24 \quad \text{或} \quad x = 32$，
当$x = 24$时，另一个正方形的边长为$\frac{56 - 24}{4} = 8(cm)$，24/4=6(cm)，$6＜8$，较小正方形的边长为$6 cm$；
当$x = 32$时，另一个正方形的边长为$\frac{56 - 32}{4} = 6(cm)$，32/4=8(cm)，$6＜8$，较小正方形的边长为$6 cm$；
故答案为：$6 cm$。

10. (新情境·日常生活)某驻村工作队决定在该村山脚下围一块面积为$600m^{2}$的矩形茶园.如图,茶园 ABCD 一边靠墙,墙长 35 m,另外三边用 69 m 长的篱笆围成,其中边 CD 上开有一扇 1 m 宽的门,求这个茶园的长和宽.
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答案： 【解析】：本题主要考查一元二次方程的应用。
设这个茶园垂直于墙的一边长为$x$米，则与墙平行的一边长为$(69-2x+1)$米，即$(70-2x)$米。
因为茶园的面积为$600m^2$，
根据矩形的面积公式：$面积 = 长 × 宽$，
所以我们可以列出一元二次方程：
$x(70 - 2x) = 600$
展开并整理得：
$70x - 2x^2 = 600$
$2x^2 - 70x + 600 = 0$
$x^2 - 35x + 300 = 0$
接下来，我们解这个一元二次方程。
首先，计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 × 1 × 300 = 1225 - 1200 = 25$
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
使用求根公式求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$
解得：
$x_1 = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{30}{2} = 15$
当$x = 20$时，平行于墙的一边长为$70 - 2 × 20 = 30$米，
因为墙长$35$米，$30＜ 35$，符合题意；
当$x = 15$时，平行于墙的一边长为$70 - 2 × 15 = 40$米，
因为墙长$35$米，$40＞35$，不符合题意，舍去。
所以，这个茶园的长为$30$米，宽为$20$米。
【答案】：
解：设这个茶园垂直于墙的一边长为$x$米，则与墙平行的一边长为$(70-2x)$米。
由题意得：$x(70 - 2x) = 600$，
整理得：$x^2 - 35x + 300 = 0$，
解得：$x_1 = 20$，$x_2 = 15$。
当$x = 20$时，$70-2x=30＜ 35$，符合题意；
当$x = 15$时，$70-2x=40＞35$，不符合题意，舍去。
所以这个茶园的长为$30$米，宽为$20$米。

11. (易错题)如图,小华将一根长为 10 cm 的小棒截成两段,并将之放置在互相垂直平分的位置上,将端点用橡皮筋连接,构造出菱形 ABCD.
(1) 若菱形 ABCD 的面积为$12cm^{2}$,则应如何截取?
(2) 菱形 ABCD 的面积可以为$15cm^{2}$吗? 请说明理由.
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答案：
(1) 解：设截成的两段长分别为 $x\ \text{cm}$ 和 $(10 - x)\ \text{cm}$，即菱形对角线长分别为 $x\ \text{cm}$ 和 $(10 - x)\ \text{cm}$。
由菱形面积公式得 $\frac{1}{2}x(10 - x) = 12$，
整理得 $x^2 - 10x + 24 = 0$，
解得 $x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
答：应截成 4 cm 和 6 cm 的两段。
(2) 解：不可以。
理由：假设面积为 15 cm²，则 $\frac{1}{2}x(10 - x) = 15$，
整理得 $x^2 - 10x + 30 = 0$，
判别式 $\Delta = (-10)^2 - 4×1×30 = -20 ＜ 0$，
方程无实数根，故面积不能为 15 cm²。

12. (新视角·探究题)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 10,BC= 8$,点 P 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,同时,点 Q 从点 C 出发沿边 CB 向点 B 以每秒 1 个单位长度的速度运动.设点 P,Q 运动的时间为 t s,当点 Q 运动到点 B 时,两点停止运动.在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得$\triangle PQC的面积是\triangle ABC的面积的\frac {1}{6}$? 若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.
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答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AB=10$，$BC=8$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$。
点$Q$运动时间为$t$，则$CQ=t$，$0\leq t\leq8$。
点$P$从$A$出发沿射线$AC$运动，速度为每秒$2$个单位，$AP=2t$。
当$P$在线段$AC$上时，$0\leq t\leq3$，$PC=AC-AP=6-2t$。
$S_{\triangle PQC}=\frac{1}{2}\cdot PC\cdot CQ=\frac{1}{2}(6-2t)t$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$，依题意$\frac{1}{2}(6-2t)t=\frac{1}{6}×24=4$，即$t^{2}-3t+4=0$，$\Delta=9-16=-7＜0$，无解。
当$P$在$AC$延长线上时，$t＞3$，$PC=AP-AC=2t-6$。
$S_{\triangle PQC}=\frac{1}{2}(2t-6)t$，依题意$\frac{1}{2}(2t-6)t=4$，即$t^{2}-3t-4=0$，解得$t=4$或$t=-1$（舍去）。
$t=4$在$3＜t\leq8$范围内，符合题意。
答：存在，$t=4$。