《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2023·吉林)一元二次方程 $ x^{2}-5 x+2= 0 $ 根的判别式的值为 (C)
A.33
B.23
C.17
D.$ \sqrt{17} $

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其根的判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于给定的方程 $x^{2} - 5x + 2 = 0$，其中 $a = 1, b = -5, c = 2$。
代入判别式公式得：
$\Delta = (-5)^{2} - 4 × 1 × 2 = 25 - 8 = 17$。
但题目要求的是判别式的值，并且给出了选项，我们需要对比选项来确定答案。
由于计算出的判别式值为17，与选项C相符。
【答案】：
C

2. (2024·上海)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是 (D)
A.$ x^{2}-6 x= 0 $
B.$ x^{2}-9= 0 $
C.$ x^{2}-6 x+6= 0 $
D.$ x^{2}-6 x+9= 0 $

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
接下来，我们逐一检查每个选项：
A. 对于方程$x^{2} - 6x = 0$，
我们有：$a = 1, b = -6, c = 0$，
计算判别式：$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 0 = 36 ＞ 0$，
所以，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
B. 对于方程$x^{2} - 9 = 0$，
我们有：$a = 1, b = 0, c = -9$，
计算判别式：$\Delta = 0^{2} - 4 × 1 × (-9) = 36 ＞ 0$，
所以，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
C. 对于方程$x^{2} - 6x + 6 = 0$，
我们有：$a = 1, b = -6, c = 6$，
计算判别式：$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 6 = 12 ＞ 0$，
所以，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
D. 对于方程$x^{2} - 6x + 9 = 0$，
我们有：$a = 1, b = -6, c = 9$，
计算判别式：$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 9 = 0$，
所以，此方程有两个相等的实数根，符合题意。
【答案】：
D

3. (2024·海门一模)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+m x-5= 0 $ 的根的情况是 (A)
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.无实数根

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
根据题目给出的方程 $x^{2} + mx - 5 = 0$，可以得到 $a = 1, b = m, c = -5$。
计算判别式：
$\Delta = m^{2} - 4 × 1 × (-5) = m^{2} + 20$，
由于 $m^{2}$ 是非负的，所以 $m^{2} + 20 ＞ 0$。
根据判别式的性质，当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
A.有两个不等的实数根。

4. (2024·泰安)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2 x^{2}-3 x+k= 0 $ 有实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是 (B)
A.$ k＜\frac{9}{8} $
B.$ k \leqslant \frac{9}{8} $
C.$ k \geqslant \frac{9}{8} $
D.$ k＜-\frac{9}{8} $

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
若方程有实数根，则判别式需满足 $\Delta \geq 0$。
对于给定的方程 $2x^2 - 3x + k = 0$，其中 $a = 2, b = -3, c = k$。
代入判别式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4 × 2 × k = 9 - 8k$
要求方程有实数根，则：
$9 - 8k \geq 0$
解这个不等式得：
$k \leq \frac{9}{8}$
【答案】：
B. $k \leq \frac{9}{8}$。

5. (2024·云南)若一元二次方程 $ x^{2}-2 x+c= 0 $ 无实数根,则实数 $ c $ 的取值范围是$c ＞ 1$.

答案： 【解析】：
对于一元二次方程$x^{2} - 2x + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^{2} - 4ac$，其中$a = 1, b = -2, c$为未知数。
根据题目条件，该方程无实数根，即$\Delta ＜ 0$。
代入$a, b$的值，得到$\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × c = 4 - 4c ＜ 0$。
解这个不等式，得到$c ＞ 1$。
【答案】：
$c ＞ 1$。

6. (新视角·结论开放题)(2024·南通)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2 x+k= 0 $ 有两个不等的实数根.请写出一个满足题意的 $ k $ 的值:______0.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的判别式知识点，即需要确定方程$x^{2}-2x+k=0$有两个不等的实数根的条件。
一元二次方程的判别式为$\Delta = b^{2} - 4ac$，
对于方程$x^{2}-2x+k=0$，其中$a=1, b=-2, c=k$，
所以判别式为$\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × k = 4 - 4k$。
要使方程有两个不等的实数根，需要$\Delta ＞ 0$，
即$4 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 1$。
因此，$k$可以取小于1的任意实数。
【答案】：
$k = 0$（答案不唯一，$k$可以取小于1的任意实数）。

7. 利用根的判别式判断下列方程的根的情况:
(1) $ x^{2}+9 x+20= 0 $; (2) $ 5 x^{2}-4 x+1= 0 $;
(3) $ 4 x^{2}-4 \sqrt{3} x+3= 0 $; (4) $ 5 x^{2}+5 x= 4 x^{2}+10 $.

答案： 【解析】：
本题主要考察利用根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$来判断一元二次方程的根的情况。
对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，其根的判别式为$\Delta = b^{2} - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
(1) 对于方程$x^{2} + 9x + 20 = 0$，其中$a = 1, b = 9, c = 20$，代入判别式得：
$\Delta = 9^{2} - 4 × 1 × 20 = 81 - 80 = 1 ＞ 0$
所以，方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$5x^{2} - 4x + 1 = 0$，其中$a = 5, b = -4, c = 1$，代入判别式得：
$\Delta = (-4)^{2} - 4 × 5 × 1 = 16 - 20 = -4 ＜ 0$
所以，方程没有实数根。
(3) 对于方程$4x^{2} - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$，其中$a = 4, b = -4\sqrt{3}, c = 3$，代入判别式得：
$\Delta = (-4\sqrt{3})^{2} - 4 × 4 × 3 = 48 - 48 = 0$
所以，方程有两个相等的实数根。
(4) 对于方程$5x^{2} + 5x = 4x^{2} + 10$，整理得：
$x^{2} + 5x - 10 = 0$
其中$a = 1, b = 5, c = -10$，代入判别式得：
$\Delta = 5^{2} - 4 × 1 × (-10) = 25 + 40 = 65 ＞ 0$
所以，方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程有两个相等的实数根；
(4) 方程有两个不相等的实数根。

8. (教材 P12 练习第 1 题变式)用公式法解下列方程:
(1) (2024·通州期末)$ x^{2}-8 x+1= 0 $; (2) (2024·启东期末)$ 3 x^{2}-4 x-1= 0 $;
(3) $ 2 x^{2}-19 x+18= 17-13 x $; (4) $ 2 x(x-4)= -6 x+5 $.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的公式法解法。公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$来求解方程。
对于每个方程，我们需要先将其化为标准形式$ax^2+bx+c=0$，然后确定系数a、b、c的值，最后代入求根公式进行计算。
(1) 对于方程$x^{2}-8x+1=0$
$a=1, b=-8, c=1$
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 × 1 × 1 = 60 ＞ 0$
代入求根公式得：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{60}}{2} = 4 + \sqrt{15}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{60}}{2} = 4 - \sqrt{15}$
(2) 对于方程$3x^{2}-4x-1=0$
$a=3, b=-4, c=-1$
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 × 3 × (-1) = 28 ＞ 0$
代入求根公式得：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{28}}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{28}}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$
(3) 对于方程$2x^{2}-19x+18=17-13x$
先化简为：$2x^{2}-6x+1=0$
$a=2, b=-6, c=1$
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 × 2 × 1 = 28 ＞ 0$
代入求根公式得：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{28}}{4} = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{28}}{4} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$
(4) 对于方程$2x(x-4)=-6x+5$
先化简为：$2x^2 - 8x + 6x - 5 = 0$
即：$2x^2 - 2x - 5 = 0$
$a=2, b=-2, c=-5$
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 2 × (-5) = 44 ＞ 0$
代入求根公式得：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{44}}{4} = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{44}}{4} = \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$
【答案】：
(1) $x_1=4+\sqrt{15}, x_2=4-\sqrt{15}$
(2) $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}, x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(3) $x_1=\frac{3+\sqrt{7}}{2}, x_2=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$
(4) $x_1=\frac{1+\sqrt{11}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{11}}{2}$

9. (2023·兰州)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+b x+c= 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ b^{2}-2(1+2 c) $ 的值为 (A)
A.-2
B.2
C.-4
D.4

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的判别式以及代数式的化简与求值。
由于关于$x$的一元二次方程$x^{2} + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$
由于此方程中$a=1$，所以：
$b^{2} - 4c = 0$
即：
$b^{2} = 4c$
接下来，我们需要求$b^{2} - 2(1 + 2c)$的值。
将$b^{2} = 4c$代入，得：
$b^{2} - 2(1 + 2c) = 4c - 2(1 + 2c) = 4c - 2 - 4c = -2$
【答案】：
A