《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

9. (易错题)已知二次函数$y = -\frac{1}{3}x^{2}+2$,当$1\leqslant x\leqslant5$时,$y$的最大值为 (C)
A.2
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{7}{3}$

答案： 【解析】：
本题考查二次函数$y = ax^{2} + k$的图象和性质。
由于二次函数的系数$a = -\frac{1}{3} ＜ 0$，所以该二次函数的开口方向是向下。
二次函数$y = ax^{2} + k$的对称轴为$x = 0$，在本题中即为$y$轴。
因为函数开口向下，所以在对称轴左侧，函数值随着$x$的增大而增大；
在对称轴右侧，函数值随着$x$的增大而减小。
本题中，需要求的是$1\leqslant x\leqslant5$区间内的最大值，这个区间在对称轴$x=0$的右侧，
所以函数值在此区间内是随着$x$的增大而减小的。
因此，当$x=1$时，函数取得该区间内的最大值。
将$x=1$代入原函数，得到$y = -\frac{1}{3} × 1^{2} + 2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$。
但在$x=0$时，函数取得全局最大值，即$y=2$。
不过0不在给定的区间$1\leqslant x\leqslant5$内，
所以需要考虑区间端点，由于函数是减函数，故在$x=1$时取得区间最大值$\frac{5}{3}$。
接下来，我们比较选项：
A. 2 - 这是函数的全局最大值，但在给定区间内达不到。
B. $\frac{2}{3}$ - 这个值小于$\frac{5}{3}$，不是最大值。
C. $\frac{5}{3}$ - 这是我们在$x=1$时计算得到的值，是区间内的最大值。
D. $\frac{7}{3}$ - 这个值大于$\frac{5}{3}$，不是区间内的最大值。
【答案】：C

10. 若抛物线$C_{1}:y = ax^{2}+c与C_{2}:y = 2x^{2}$的形状相同,开口方向相反,且抛物线$C_{1}的顶点坐标是(0,-2)$,则抛物线$C_{1}$对应的函数解析式为______$y = - 2x^{2} - 2$。

答案： 【解析】：
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质。
由于抛物线$C_1$和$C_2$的形状相同但开口方向相反，所以系数$a$应为$C_2$系数$2$的相反数，即$a=-2$。
又因为抛物线$C_1$的顶点坐标是$(0,-2)$，根据二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，由于此题没有$x$的一次项，所以函数形式可以简化为$y=ax^2+c$，可以直接代入顶点坐标来求解$c$。
将$(0,-2)$代入$y=ax^2+c$，得到$c=-2$。
综上，抛物线$C_1$对应的函数解析式为$y=-2x^2-2$。
【答案】：
$y = - 2x^{2} - 2$。

11. 若点$A(x_{1},m)和点B(x_{2},m)(x_{1}\neq x_{2})都在二次函数y = \frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}-1$的图象上,则当$x = x_{1}+x_{2}$时,$y$的值是-1.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数$y = ax^{2} + k$的图象和性质。
由于点$A(x_{1},m)$和点$B(x_{2},m)$的纵坐标相同，且$x_{1} \neq x_{2}$，我们可以推断出这两点关于二次函数的对称轴对称。
对于二次函数$y = ax^{2} + k$，其对称轴为$x = 0$。
因此，有$x_{1} = -x_{2}$，从而得出$x_{1} + x_{2} = 0$。
将$x = 0$代入二次函数$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x^{2} - 1$，得到$y = -1$。
【答案】：
$-1$

12. 对于二次函数$y = -2x^{2}+5$,当$-2 ＜ x\leqslant1$时,$y$的取值范围是$-3 ＜ y \leq 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质。
由于二次函数$y = ax^2 + k$的对称轴为$x=0$，且此函数的开口向下（因为$a=-2＜0$），
所以在对称轴$x=0$处取得最大值，即当$x=0$时，$y=5$。
当$x=-2$时，代入原函数得$y=-2×(-2)^2+5=-3$，
但需要注意，$x$的取值范围是$-2＜x\leq1$，所以$x=-2$是取不到的，
因此$y$的取值不会小于$-3$但会大于它。
当$x=1$时，代入原函数得$y=-2×1^2+5=3$。
综上，当$-2＜x\leq1$时，$y$的取值范围为$-3＜y\leq5$。
【答案】：
$-3 ＜ y \leq 5$

13. 把函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象向上平移2个单位长度.
(1) 求新图象对应的函数解析式、顶点坐标和对称轴;
(2) 画出平移后的函数图象;
(3) 求平移后所得图象对应的函数的最大(或最小)值,并求出$x$的对应值.

答案：
【解析】：
本题主要考察二次函数图象的平移变换以及二次函数的性质。
(1) 对于函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，当其图象向上平移2个单位长度时，
根据平移规律“上加下减”，新的函数解析式变为$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2$。
二次函数$y = ax^{2} + k$的顶点坐标为$(0, k)$，对称轴为$y$轴（或直线$x = 0$）。
因此，新图象的顶点坐标为$(0, 2)$，对称轴为直线$x = 0$。
(2) 画平移后的函数图象时，由于这是一个开口向下的抛物线（因为$a = -\frac{1}{2} \lt 0$），
并且顶点为$(0, 2)$，对称轴为$y$轴，
所以可以根据这些信息在坐标系中描绘出抛物线的大致形状。
(3) 对于二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2$，
由于$a = -\frac{1}{2} \lt 0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
最大值出现在顶点处，即$x = 0$时，$y = 2$。
因此，平移后所得图象对应的函数的最大值为2，此时$x = 0$。

14. (数形结合思想)已知抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$具有如下性质:抛物线上任意一点到定点$F(0,2)的距离与到x$轴的距离相等. 如图,点$M的坐标为(\sqrt{3},3)$,$P是抛物线y = \frac{1}{4}x^{2}+1$上一动点,连接$PF$,$PM$,$FM$,$OP$.
(1) 当$\triangle POF$的面积为4时,求点$P$的坐标;
(2) 求$\triangle PMF$周长的最小值.

答案： 【解析】：
本题可根据抛物线的性质以及三角形面积公式、两点间距离公式等来求解。
（1）求点$P$的坐标：
设点$P$的坐标为$(x,\frac{1}{4}x^{2}+1)$。
已知$F(0,2)$，则点$P$到$x$轴的距离为$\frac{1}{4}x^{2}+1$，$OF = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle POF$，以$OF$为底，点$P$到$x$轴的距离为高，则${S}_{\triangle POF}=\frac{1}{2}× OF× (\frac{1}{4}{x}^{2}+1)$。
因为${S}_{\triangle POF}=4$，所以$\frac{1}{2}× 2× (\frac{1}{4}{x}^{2}+1)=4$，即$\frac{1}{4}{x}^{2}+1 = 4$。
移项可得$\frac{1}{4}{x}^{2}=3$，两边同时乘以$4$得到${x}^{2}=12$，解得$x=\pm2\sqrt{3}$。
当$x = 2\sqrt{3}$时，$\frac{1}{4}{x}^{2}+1=\frac{1}{4}×(2\sqrt{3})^{2}+1 = 3 + 1 = 4$；当$x = -2\sqrt{3}$时，$\frac{1}{4}{x}^{2}+1=\frac{1}{4}×(-2\sqrt{3})^{2}+1 = 3 + 1 = 4$。
所以点$P$的坐标为$(2\sqrt{3},4)$或$( - 2\sqrt{3},4)$。
（2）求$\triangle PMF$周长的最小值：
过点$M$作$ME\perp x$轴于点$E$，交抛物线于点$P$，此时$\triangle PMF$的周长最小。
因为抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离相等，即$PF = PE$，所以$\triangle PMF$的周长$=PM + PF + MF = PM + PE + MF = ME + MF$。
已知$M(\sqrt{3},3)$，$F(0,2)$，$E(\sqrt{3},0)$，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，可得：
$MF=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^{2}+(3 - 2)^{2}}=\sqrt{3 + 1}=2$，$ME = 3$。
所以$\triangle PMF$周长的最小值为$ME + MF = 3 + 2 = 5$。
【答案】：
(1) $(2\sqrt{3},4)$或$( - 2\sqrt{3},4)$；
(2) $5$