《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

12. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(-4,3),B(-3,1),C(-1,3) $.
(1) 请按要求画图:
① 平移 $ \triangle ABC $,使点 $ A $ 的对应点 $ A_{1} $ 的坐标为 $ (-4,-3) $,请画出平移后的 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ (点 $ B,C $ 的对应点分别为 $ B_{1},C_{1} $ );
② $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $ 与 $ \triangle ABC $ 关于原点 $ O $ 成中心对称,画出 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $ (点 $ A,B,C $ 的对应点分别为 $ A_{2},B_{2},C_{2} $ ).
(2) 若将 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 绕点 $ M $ 旋转可得到 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $,则旋转中心 $ M $ 的坐标是____.
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答案：
【解析】：本题主要考查了图形的平移、中心对称以及旋转的性质。
（1）①根据平移的性质，点$A$从$( - 4,3)$平移到$( - 4, - 3)$，是向下平移了$6$个单位。
那么点$B(-3,1)$向下平移$6$个单位，得到$B_1(-3, - 5)$；点$C(-1,3)$向下平移$6$个单位，得到$C_1(-1, - 3)$。
连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，得到平移后的$\triangle A_1B_1C_1$。
②根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数。
点$A(-4,3)$关于原点对称的点$A_2(4, - 3)$；点$B(-3,1)$关于原点对称的点$B_2(3, - 1)$；点$C(-1,3)$关于原点对称的点$C_2(1, - 3)$。
连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，得到$\triangle A_2B_2C_2$。
（2）旋转中心$M$是对应点连线的垂直平分线的交点。
先求$A_1(-4, - 3)$与$A_2(4, - 3)$连线的垂直平分线，由于$A_1$与$A_2$纵坐标相同，所以其连线的垂直平分线是$x = 0$（即$y$轴）。
再求$B_1(-3, - 5)$与$B_2(3, - 1)$连线的垂直平分线，$B_1B_2$中点坐标为$(\frac{-3 + 3}{2},\frac{-5 - 1}{2})=(0, - 3)$，$B_1B_2$的斜率$k=\frac{-1 - (-5)}{3 - (-3)}=\frac{2}{3}$，则其垂直平分线的斜率为$-\frac{3}{2}$，根据点斜式可得$y + 3 = -\frac{3}{2}x$，即$y = -\frac{3}{2}x - 3$。
联立$\begin{cases}x = 0\\y = -\frac{3}{2}x - 3\end{cases}$，解得$x = 0$，$y = - 3$，所以旋转中心$M$的坐标为$(0, - 3)$。
【答案】：

(2)$(0, - 3)$。

13. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,-4) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (0,-2) $.
(1) 将 $ \triangle OAB $ 绕点 $ O $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $ \triangle OA_{1}B_{1} $,请画出 $ \triangle OA_{1}B_{1} $,并写出点 $ A_{1},B_{1} $ 的坐标 (点 $ A,B $ 的对应点分别为 $ A_{1},B_{1} $ );
(2) 判断以 $ A,B,A_{1},B_{1} $ 为顶点的四边形的形状,并说明理由.
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答案：

(1) ，$A_1(3,4)$，$B_1(0,2)$。
(2) 解：平行四边形。理由：由旋转性质得$OA=OA_1$，$OB=OB_1$，故四边形$ABA_1B_1$的对角线互相平分，所以该四边形是平行四边形。