《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 下列属于二次函数的为(D)
A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } $
C.$ y = ( x + 1 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } $
D.$ y = 3x ^ { 2 } - 1 $

答案： 【解析】：
本题考查二次函数的定义。
二次函数的一般形式为$y=ax^{2}+bx+c$，其中$a, b, c$为常数，且$a \neq 0$。
A选项：$y = 3x - 1$，此函数为一次函数，因为它只包含$x$的一次幂，不符合二次函数的定义，故A错误。
B选项：$y = x^{2} + \frac{1}{x}$，此函数包含$x$的负一次幂，不是整式函数，因此不属于二次函数范畴，故B错误。
C选项：$y = (x + 1)^{2} - x^{2}$，展开后得到$y = 2x + 1$，此函数为一次函数，因为它只包含$x$的一次幂，不符合二次函数的定义，故C错误。
D选项：$y = 3x^{2} - 1$，此函数满足二次函数的定义，因为它可以写成$y=ax^{2}+bx+c$的形式，其中$a=3, b=0, c=-1$，且$a \neq 0$，故D正确。
【答案】：
D

2. (2024·通州期中)函数解析式$ y = x ^ { 2 } + 2x - 1 $的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(B)
A.$ 1,2,1 $
B.$ 1,2,-1 $
C.$ 0,2,-1 $
D.$ 0,-2,-1 $

答案： 解：对于二次函数$y = x^2 + 2x - 1$，其一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
在此函数中，二次项系数$a = 1$，一次项系数$b = 2$，常数项$c = -1$。
答案：B

3. (教材 P29 练习第 2 题变式)用$ 40 \mathrm { cm } $长的绳子围成一个矩形,则矩形的面积$ y $(单位:$ \mathrm { cm } ^ { 2 } $)与一边的长$ x $(单位:$ \mathrm { cm } $)之间的函数解析式为(C)
A.$ y = x ^ { 2 } $
B.$ y = - x ^ { 2 } + 40x $
C.$ y = - x ^ { 2 } + 20x $
D.$ y = - x ^ { 2 } + 20 $

答案： 【解析】：
首先，我们知道用$40 \mathrm{ cm}$长的绳子围成一个矩形，那么矩形的周长就是$40 \mathrm{ cm}$。
设矩形的一边长为$x \mathrm{ cm}$，由于矩形的对边相等，所以另一边的长就是$\frac{40}{2} - x = 20 - x \mathrm{ cm}$。
矩形的面积$y$可以用以下公式表示：
$y = \text{长} × \text{宽} = x × (20 - x) = 20x - x^{2} = - x^{2} + 20x$
这是一个关于$x$的二次函数，且系数为负，所以图像开口向下。
将我们得到的函数解析式与选项进行对比，可以看出正确答案是C。
【答案】：
C

4. 下列描述的$ y 与 x $之间的关系属于二次函数关系的为(B)
A.正方体的体积$ y 与棱长 x $之间的关系
B.某商品 6 月的售价为 30 元,7 月和 8 月连续两次降价销售,平均每月降价的百分率为$ x $,该商品 8 月的售价$ y 与 x $之间的关系
C.距离一定时,汽车匀速行驶的时间$ y 与速度 x $之间的关系
D.等腰三角形的顶角度数$ y 与底角度数 x $之间的关系

答案： 【解析】：
本题要求我们判断哪个选项描述的是二次函数关系。
A. 正方体的体积$y$与棱长$x$之间的关系是$y = x^3$，这是一个三次函数关系，所以A选项错误。
B. 对于连续两次降价销售，且每月降价百分率为$x$的情况，我们可以建立如下关系：
设商品原价为30元，7月降价后的价格为$30(1-x)$，8月再次降价后的价格为$30(1-x)(1-x) = 30(1-x)^2$。
所以，8月的售价$y$与降价百分率$x$之间的关系是$y = 30(1-x)^2$，这是一个二次函数关系，所以B选项正确。
C. 距离一定时，汽车匀速行驶的时间$y$与速度$x$之间的关系是反比例关系，即$y = \frac{s}{x}$（其中$s$是常数，表示距离），所以C选项错误。
D. 等腰三角形的顶角度数$y$与底角度数$x$之间的关系是$y = 180° - 2x$，这是一个一次函数关系，所以D选项错误。
综上，只有B选项描述的是二次函数关系。
【答案】：B

5. 在二次函数$ y = 2 \pi x ^ { 2 } - 3 \pi x + 4 $中,二次项系数是$2\pi$,一次项系数是$-3\pi$.

答案： 【解析】：
题目考查二次函数的各项系数，需要根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$，识别出题目给出的二次函数中的二次项系数和一次项系数。
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
对于给定的二次函数$y = 2\pi x^2 - 3\pi x + 4$，可以直接对比一般形式，得出：
二次项系数$a = 2\pi$，
一次项系数$b = -3\pi$。
【答案】：
二次项系数是$2\pi$；
一次项系数是$-3\pi$。

6. 一个直角三角形的面积为$ y \mathrm { cm } ^ { 2 } $,两条直角边的长之和为$ 20 \mathrm { cm } $,其中一条直角边的长为$ x \mathrm { cm } $,则$ y 与 x $之间的函数解析式为$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}+10x$.

答案： 解：因为一条直角边的长为$x\ \text{cm}$，两条直角边的长之和为$20\ \text{cm}$，所以另一条直角边的长为$(20 - x)\ \text{cm}$。
直角三角形的面积$y=\dfrac{1}{2}×$一条直角边$×$另一条直角边，即$y = \dfrac{1}{2}x(20 - x)$，化简得$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+10x$。
故$y$与$x$之间的函数解析式为$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}+10x$。

7. 已知一个菱形两条对角线的长之和为$ 24 \mathrm { cm } $,设其中一条对角线的长为$ x \mathrm { cm } $.
(1) 设菱形的面积为$ S \mathrm { cm } ^ { 2 } $,求$ S 与 x $之间的函数解析式;
(2) 当$ x = 12 $时,菱形的面积为多少?

答案： 【解析】：
(1) 已知菱形的两条对角线的长之和为$24cm$，设其中一条对角线的长为$xcm$，那么另一条对角线的长就是$(24 - x)cm$。
菱形的面积公式为：$S = \frac{1}{2} × d_1 × d_2$，其中$d_1$和$d_2$是菱形的两条对角线长。
代入已知条件，得：
$S = \frac{1}{2} × x × (24 - x)$
$S = 12x - \frac{1}{2}x^{2}$
所以，$S$与$x$之间的函数解析式为：$S = 12x - \frac{1}{2}x^{2}$。
(2) 当$x = 12$时，代入上述函数解析式得：
$S = 12 × 12 - \frac{1}{2} × 12^{2}$
$S = 144 - 72$
$S = 72$
所以，当$x = 12$时，菱形的面积为$72cm^{2}$。
【答案】：
(1) $S = 12x - \frac{1}{2}x^{2}$；
(2) 当$x = 12$时，菱形的面积为$72cm^{2}$。

8. 已知函数$ y = ( m + 3 ) x ^ { 2 } + 4 $是二次函数,则$ m $的取值范围是(C)
A.$ m ＞ - 3 $
B.$ m ＜ - 3 $
C.$ m \neq - 3 $
D.任意实数

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的定义。
根据二次函数的定义，一个函数如果形如$y = ax^2 + bx + c$（其中$a \neq 0$）则被称为二次函数。
对于给定的函数$y = (m + 3)x^2 + 4$，要使其为二次函数，必须满足$m + 3 \neq 0$。
解这个不等式，我们得到$m \neq -3$。
因此，$m$的取值范围是$m \neq -3$。
【答案】：
C

9. 已知$ y = ( k - 2 ) x ^ { | k | } + 2x - 3 是关于 x $的二次函数,则实数$ k $的值为$-2$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的定义。根据二次函数的定义，自变量$x$的最高次数应为2，并且该次数的系数不应为0。
从给定的函数$y = (k - 2)x^{|k|} + 2x - 3$中，我们可以看到$x$的最高次数是$|k|$。
为了满足二次函数的定义，我们需要有$|k| = 2$。
同时，我们需要确保$x^2$的系数$k - 2$不为0，即$k \neq 2$。
解方程$|k| = 2$，我们得到两个可能的$k = 2$或$k = -2$。
但由于$k \neq 2$，所以我们只有$k = -2$满足条件。
【答案】：
$k = -2$

10. (易错题)商店销售一种进价为每件 50 元的商品,售价为每件 60 元,每个星期可卖出 200 件. 若每件商品的售价每上涨 1 元,则每个星期就会少卖出 10 件. 设每件商品的售价上涨$ x $元($ x $为正整数),商店每个星期销售该商品的利润为$ y $元,则$ y 与 x $之间的函数解析式为______$y=-10x^2+100x+2000$.

答案： 【解析】：
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，具体是根据商品的进价、售价和销售量之间的关系，建立利润与售价上涨金额之间的函数关系式。
首先，确定商品的进价为50元，初始售价为60元，因此每件商品的初始利润为$60-50=10$元。
然后，根据题目描述，每件商品的售价上涨$x$元后，新的售价为$60+x$元，而每个星期的销售量会减少$10x$件，即新的销售量为$200-10x$件。
接下来，根据新的售价和销售量，可以计算出新的总利润$y$。每件商品的利润为新的售价减去进价，即$(60+x)-50=10+x$元。
因此，总利润$y$为每件商品的利润乘以销售量，即$y=(10+x)(200-10x)$。
最后，将上式展开，得到$y=-10x^2+100x+2000$。
【答案】：
$y=-10x^2+100x+2000$