《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材 P87 思考变式)(2024·如皋期末)如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形. 若 $\angle D = 85^{\circ}$,则 $\angle B$ 的度数为 (B)

A.$85^{\circ}$
B.$95^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$115^{\circ}$
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答案： 【解析】：本题主要考查圆内接四边形的性质。
圆内接四边形的对角互补，即四边形内接于圆时，其对角之和为$180^{\circ}$。
已知四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，且$\angle D = 85^{\circ}$。
根据圆内接四边形的性质，有$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$。
因此，$\angle B = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$。
【答案】：B. $95^{\circ}$。

2. (教材 P88 练习第 5 题变式)如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$. 若它的一个外角 $\angle DCE = 65^{\circ}$,则 $\angle A$ 的度数为 (C)

A.$112^{\circ}$
B.$68^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$52^{\circ}$
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答案： 解：
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
∵∠DCE+∠BCD=180°（邻补角定义）
∴∠A=∠DCE
∵∠DCE=65°
∴∠A=65°
答案：C

3. 如图,点 $A,B,C$ 在 $\odot O$ 上. 如果 $\angle BAC = 100^{\circ}$,那么 $\angle BOC$ 的度数是 (D)
A.$160^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$200^{\circ}$
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答案： 解：
∵点A,B,C在⊙O上，∠BAC=100°
∴∠BAC是⊙O的圆周角，∠BOC是⊙O的圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$
∵在同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍
又
∵点A在优弧$\overset{\frown}{BC}$上
∴∠BOC=2∠BAC=2×100°=200°
答案：D

4. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$\angle ABD = 20^{\circ}$,则 $\angle C$ 的度数为 (C)
A.$90^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
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答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质来求解$\angle C$的度数。
步骤一：根据圆周角定理求出$\angle ADB$的度数
因为$AB$是$\odot O$的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，所以在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$。
步骤二：求出$\angle A$的度数
在$\triangle ABD$中，已知$\angle ABD = 20^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A=180^{\circ}-\angle ADB - \angle ABD = 180^{\circ}- 90^{\circ}- 20^{\circ}=70^{\circ}$。
步骤三：根据圆内接四边形的性质求出$\angle C$的度数
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 70^{\circ}$，则$\angle C = 180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}- 70^{\circ}=110^{\circ}$。
【答案】：C

5. (易错题)如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC},\angle DAC = 25^{\circ}$,则 $\angle ABC$ 的度数为 ______$50^\circ$.

答案： 【解析】：本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理。
圆内接四边形的对角互补，即圆内接四边形的任意两个对角之和为$180^\circ$。
同弧所对的圆周角相等。
因为$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC}$，$\angle DAC = 25^{\circ}$，
所以$\angle ACD=\angle DAC = 25^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^\circ$，
所以$\angle D=180^\circ-\angle DAC -\angle ACD=130^\circ$。
因为四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，
所以$\angle D+\angle ABC=180^\circ$，
所以$\angle ABC=50^\circ$。
【答案】：$50^\circ$。

6. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,AC$ 平分 $\angle BAD$. 若 $\angle BDC = 40^{\circ}$,则 $\angle BCD$ 的度数为 ______$100^\circ$.

答案： 【解析】：本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∵$\angle BDC = 40^\circ$，
∴$\angle BAC=\angle BDC = 40^\circ$，
∵$AC$平分$\angle BAD$，
∴$\angle BAD=2\angle BAC=80^\circ$，
根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，
∴$\angle BCD+\angle BAD=180^\circ$，
∴$\angle BCD=180^\circ-\angle BAD=100^\circ$。
【答案】：$100^\circ$。

7. 如图,$A,B,C,D$ 是 $\odot O$ 上的四点,延长 $DC,AB$ 交于点 $E,BC = BE$. 求证:$\triangle ADE$ 是等腰三角形.
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答案： 【解析】：本题主要考察圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，以及外角性质。
首先，根据圆内接四边形的性质，我们知道圆内接四边形的对角互补，即$\angle A + \angle DCB = 180^{\circ}$。
接着，由于$\angle DCB + \angle ECB = 180^{\circ}$（因为它们是同旁内角），
我们可以得出$\angle A = \angle ECB$（同角的补角相等）。
然后，由于$BC = BE$，根据等腰三角形的性质，我们知道$\angle E = \angle ECB$。
因此，$\angle E = \angle A$。
最后，由于在$\triangle ADE$中，$\angle E = \angle A$，
根据等腰三角形的判定，我们可以得出$AD = DE$，
所以$\triangle ADE$是等腰三角形。
【答案】：证明：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴$\angle A + \angle DCB = 180^{\circ}$，
∵$\angle DCB + \angle ECB = 180^{\circ}$，
∴$\angle A = \angle ECB$，
∵$BC = BE$，
∴$\angle E = \angle ECB$，
∴$\angle E = \angle A$，
∴$AD = DE$，
∴$\triangle ADE$是等腰三角形。