《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. 如图,⊙O是等边三角形ABC的内切圆,与边AB,BC,AC分别相切于点E,F,D,P是$\overset{\frown}{DF}$上一点,则∠EPF的度数为 (B)
A.65°
B.60°
C.58°
D.50°

答案： 解：连接OE，OF。
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，∠B=60°。
∴∠OEB=∠OFB=90°。
在四边形OEBF中，∠EOF=360°-90°-90°-60°=120°。
∵P是$\overset{\frown}{DF}$上一点，
∴∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=60°。
答案：B

9. (新考向·数学文化)(2023·海门期中)《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题：“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆径几何?”大意如下：如图,今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问：该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步? 根据题意可知,该直角三角形内切圆的直径为4步.

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识点。
首先，根据勾股定理，可以求出直角三角形的斜边长度。
已知直角三角形的两直角边分别为$a = 5$步和$b = 12$步，
所以斜边$c$的长度为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（步），
接着可以利用直角三角形的内切圆半径公式来求解。
对于直角三角形，其内切圆半径$r$可以表示为：
$r = \frac{a + b - c}{2}$，
将已知的$a$，$b$，$c$值代入公式中，得到：
$r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$（步），
因此，内切圆的直径为$2r = 4$（步）。
【答案】：4。

10. 将一把直尺(单位：cm)、一块含60°角的三角尺和一个量角器按如图所示的方式摆放,60°角的顶点A对应直尺上的刻度4,B为量角器与直尺的切点,对应直尺上的刻度7,则该量角器的直径是______cm.

12

答案： 解：连接OB。
∵B为量角器与直尺的切点，
∴OB⊥直尺，即OB⊥AB，∠OBA=90°。
由题意得：AB=7-4=3cm，∠OAB=60°。
在Rt△OAB中，cos∠OAB=AB/OA，
∴OA=AB/cos60°=3/(1/2)=6cm。
∵量角器的直径为2OA，
∴直径=2×6=12cm。
答案：12

11. 如图,AB是⊙O的直径,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.
(1) 求证：OP⊥CD.
(2) 连接AD,BC.若∠DAB= 50°,∠CBA= 70°,OA= 2,求OP的长.

答案：
(1)证明：连接OC,OD.
∵PC,PD是⊙O的切线，
∴PC=PD,∠OPC=∠OPD.
∴OP是CD的垂直平分线.
∴OP⊥CD.
(2)解：连接OD,OC.
∵OA=OD,∠DAB=50°,
∴∠ODA=∠DAB=50°.
∴∠AOD=180°-50°×2=80°.
∵OB=OC,∠CBA=70°,
∴∠OCB=∠CBA=70°.
∴∠BOC=180°-70°×2=40°.
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=60°.
∵PD,PC是切线，
∴∠ODP=∠OCP=90°,OD=OC=OA=2.
∵OP=OP,
∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL).
∴∠DOP=∠COP=∠COD/2=30°.
在Rt△ODP中，cos∠DOP=OD/OP,
∴OP=OD/cos30°=2/(√3/2)=4√3/3.

12. 如图,AB为⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,PQ⊥PA,连接OC并延长,交PQ于点Q.
(1) 求证：OQ= PQ.
(2) 连接BC并延长,交PQ于点D.若PA= AB,且QC= 6,求BD的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$PA$与$\odot O$相切于点$A$，所以$OA\perp PA$，又$PQ\perp PA$，$OC$是$\odot O$的半径，所以$OA// PQ$。
则$\angle AOP=\angle QPO$。
因为$OC = OA$，所以$\angle AOP=\angle OCP$，又$\angle OCP=\angle QCD$，$OA// PQ$，所以$\angle QCD=\angle Q$。
所以$\angle QPO=\angle Q$，根据等角对等边，可得$OQ = PQ$。
2. （2）解：
设$OA = r$，则$AB = 2r$，因为$PA = AB$，所以$PA = 2r$。
由（1）知$OA// PQ$，所以$\triangle OAC\sim\triangle QDC$。
因为$OA = OC = r$，设$CD = x$，$QC = 6$，则$\frac{OA}{QC}=\frac{AC}{CD}$。
又因为$AB$是直径，$PA$，$PC$是切线，所以$PA = PC = 2r$，$OC\perp PC$（切线性质：圆心与切点的连线垂直于切线）。
由$OA// PQ$，$OQ = PQ$，设$PQ=OQ = y$，则$y - r=6$，即$y=r + 6$。
因为$OA// PQ$，所以$\frac{OA}{PQ}=\frac{AC}{PD}$。
又因为$\triangle OAC\sim\triangle QDC$，$\frac{OA}{QC}=\frac{AC}{CD}$，且$AC = AC$，$OA// PQ$，$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对圆周角是直角），$\angle PCD = 90^{\circ}$。
因为$OA// PQ$，$OA = OC$，$PQ = OQ$，可得$\triangle ABC\sim\triangle PDC$。
因为$PA$，$PC$是切线，所以$\angle PAC=\angle PCA$，$OA// PQ$，$\angle OAC=\angle Q$，$\angle Q=\angle QPC$。
设$OA=r$，$PQ = OQ$，由$\triangle OAC\sim\triangle QDC$得$\frac{OA}{QC}=\frac{AC}{CD}$，又$PA = 2r$，$PC = 2r$，$OC\perp PC$，$OA// PQ$。
因为$AB$是直径，$PA$是切线，$\angle PAB = 90^{\circ}$，$OA// PQ$，所以$\angle Q = 45^{\circ}$（$\angle AOP = 45^{\circ}$，因为$OA = PA = 2r$时，$\angle AOP = 45^{\circ}$，由$OA// PQ$得$\angle Q=\angle AOP = 45^{\circ}$）。
因为$\angle Q = 45^{\circ}$，$\angle QCD = 45^{\circ}$，$QC = 6$，所以$CD = 6$。
因为$AB$是直径，$PA$，$PC$是切线，$PA = AB$，连接$AC$，$BC$，$\triangle ABC$中，$OA = r$，$AB = 2r$，$PA = 2r$，$PC = 2r$，$\triangle ABC\sim\triangle PDC$。
因为$OA// PQ$，$\frac{OA}{PQ}=\frac{1}{2}$（$PQ=OQ$，$OQ - OC=6$，$OA = OC$，设$OA = r$，$PQ = 2r$，则$2r-r = 6$，$r = 6$）。
因为$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$PC\perp OC$，$OA// PQ$，$BC = 2CD$（由$\triangle ABC\sim\triangle PDC$，相似比为$2:1$，因为$AB = 2r$，$PC = 2r$，$OA// PQ$，$\frac{AB}{PC}=\frac{BC}{CD}=2$）。
所以$BD=12$。